AVL 树

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#c++ #算法 #数据结构 #AVL树

本文介绍了二叉查找树（BST）的基础概念，特别是AVL树的平衡因子及其维护方法。通过右旋和左旋操作演示了如何在插入或删除节点后保持树的平衡。代码示例详细展示了AVL树的节点结构、高度计算、平衡因子获取以及旋转操作的实现。

二叉查找树（BST）

平衡二叉树

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  • 平衡因子： 某个结点的左子树的高度减去右子树的高度得到的差值。
  • 插入或删除节点后，可能会造成 AVL 树的平衡被破坏，因此，需要沿着从被插入/删除的节点到根的路径对树进行维护。就是在树的某一部分的不平衡度超过一个阈值后触发相应的平衡操作，保证树的平衡度在可以接受的范围内。
//返回节点高度
    int getHeight(const Node *const node) const noexcept {
        if (node == nullptr) {
            return 0;
        }
        return node->height;
    }
    //返回平衡因子
    int getBalanceFactor(const Node *const node) const noexcept {
        if (node == nullptr) {
            return 0;
        }
        return getHeight(node->left) - getHeight(node->right);
    }

右旋转

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Node *leftRotate(Node *y) {
        Node *x = y->right;
        Node *tmp = x->left;
        x->left = y;
        y->right = tmp;
        y->height = std::max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;
        x->height = std::max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;
        return x;
    }

左旋转

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Node *rightRotate(Node *y) {
        Node *x = y->left;
        Node *tmp = x->right;
        x->right = y;
        y->left = tmp;
        y->height = std::max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;
        x->height = std::max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;
        return x;
    }

LL和RR

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LR

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RL

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Github Code

#pragma once

#include <algorithm>

template<typename Key, typename Value>
class AVLTree {
private:
    class Node {
    public:
        Key key;
        Value value;
        Node *left;
        Node *right;
        int height;

        Node(Key key, Value value) : key(key), value(value), left(nullptr), right(nullptr), height(1) {}

        Node(Node *node) {
            this->key = node->key;
            this->value = node->value;
            this->left = node->left;
            this->right = node->right;
            this->height = node->height;
        }
    };

    Node *root;
    int size;

public:

    explicit AVLTree() : root(nullptr), size(0) {}

    ~AVLTree() noexcept {
        destroy(root);
    }

    constexpr int getSize() const noexcept {
        return size;
    }

    int isEmpty() const noexcept {
        return size == 0;
    }
    //返回节点高度
    int getHeight(const Node *const node) const noexcept {
        if (node == nullptr) {
            return 0;
        }
        return node->height;
    }
    //返回平衡因子
    int getBalanceFactor(const Node *const node) const noexcept {
        if (node == nullptr) {
            return 0;
        }
        return getHeight(node->left) - getHeight(node->right);
    }
    //判断是否是二叉搜索树
    bool isBST() {
        std::vector<Key> keys;
        inOrder(root, keys);
        for (int i = 1; i < keys.size(); ++i) {
            if (keys.at(i - 1) < keys.at(i)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    //判断是否平衡
    bool isBalanced() const {
        return isBalanced(root);
    }

    void add(Key key, Value value) {
        root = add(root, key, value);
    }

    bool contains(Key key) {
        return getNode(root, key) != nullptr;
    }

    Value *get(Key key) {
        Node *node = getNode(root, key);
        return node == nullptr ? nullptr : &(node->value);
    }

    void set(Key key, Value newValue) {
        Node *node = getNode(root, key);
        if (node != nullptr) {
            node->value = newValue;
        }
    }

    // 从二叉树中删除键值为key的节点
    Value *remove(Key key) {
        Node *node = getNode(root, key);
        if (node != nullptr) {
            root = remove(root, key);
            return &(node->value);
        }
        return nullptr;
    }

private:

    // 向以node为根的二叉搜索树中,插入节点(key, value)
    // 返回插入新节点后的二叉搜索树的根
    Node *add(Node *node, Key key, Value value) {
        if (node == nullptr) {
            size++;
            return new Node(key, value);
        }
        if (key == node->key) {
            node->value = value;
        } else if (key < node->key) {
            node->left = add(node->left, key, value);
        } else {
            node->right = add(node->right, key, value);
        }
        node->height = 1 + std::max(getHeight(node->left), getHeight(node->right));
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node->left) >= 0) {
            return rightRotate(node);
        }

        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node->right) <= 0) {
            return leftRotate(node);
        }

        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node->left) < 0) {
            node->left = leftRotate(node->left);
            return rightRotate(node);
        }

        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node->right) > 0) {
            node->right = rightRotate(node->right);
            return leftRotate(node);
        }
        return node;
    }

    // 在以node为根的二叉搜索树中查找key所对应的Node
    Node *getNode(Node *node, Key key) {
        if (node == nullptr) {
            return nullptr;
        }
        if (key == node->key) {
            return node;
        } else if (key < node->key) {
            return getNode(node->left, key);
        } else {
            return getNode(node->right, key);
        }
    }

    void destroy(Node *node) {
        if (node != nullptr) {
            destroy(node->left);
            destroy(node->right);
            delete node;
            size--;
        }
    }

    // 在以node为根的二叉搜索树中,返回最小键值的节点
    Node *minimum(Node *node) {
        if (node->left == nullptr)
            return node;
        return minimum(node->left);
    }

    // 在以node为根的二叉搜索树中,返回最大键值的节点
    Node *maximum(Node *node) {
        if (node->right == nullptr)
            return node;
        return maximum(node->right);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node *removeMin(Node *node) {
        if (node->left == nullptr) {
            Node *rightNode = node->right;
            delete node;
            size--;
            return rightNode;
        }

        node->left = removeMin(node->left);
        return node;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node *removeMax(Node *node) {
        if (node->right == nullptr) {
            Node *leftNode = node->left;
            delete node;
            size--;
            return leftNode;
        }

        node->right = removeMax(node->right);
        return node;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node *remove(Node *node, Key key) {
        if (node == nullptr) {
            return nullptr;
        }

        Node *retNode;
        if (key < node->key) {
            node->left = remove(node->left, key);
            retNode = node;
        } else if (key > node->key) {
            node->right = remove(node->right, key);
            retNode = node;
        } else {
            if (node->left == nullptr) {
                Node *rightNode = node->right;
                delete node;
                size--;
                retNode = rightNode;
            } else if (node->right == nullptr) {
                Node *leftNode = node->left;
                delete node;
                size--;
                retNode = leftNode;
            } else {
                Node *successor = new Node(minimum(node->right));
                size++;

                successor->right = remove(node->right, successor->key);
                successor->left = node->left;

                delete node;
                size--;

                retNode = successor;
            }
        }
        if (retNode == nullptr) {
            return nullptr;
        }
        retNode->height = 1 + std::max(getHeight(retNode->left), getHeight(retNode->right));
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);

        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode->left) >= 0) {
            return rightRotate(retNode);
        }

        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode->right) <= 0) {
            return leftRotate(retNode);
        }

        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode->left) < 0) {
            retNode->left = leftRotate(retNode->left);
            return rightRotate(retNode);
        }

        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode->right) > 0) {
            retNode->right = rightRotate(retNode->right);
            return leftRotate(retNode);
        }

        return retNode;
    }

    void inOrder(Node *node, std::vector<Key> keys) {
        if (node == nullptr) {
            return;
        }
        inOrder(node->left, keys);
        keys.push_back(node->key);
        inOrder(node->right, keys);
    }

    bool isBalanced(const Node *const node) const {
        if (node == nullptr) {
            return true;
        }
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        if (std::abs(balanceFactor) > 1) {
            return false;
        }

        return isBalanced(node->left) && isBalanced(node->right);
    }

    Node *leftRotate(Node *y) {
        Node *x = y->right;
        Node *tmp = x->left;
        x->left = y;
        y->right = tmp;
        y->height = std::max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;
        x->height = std::max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;
        return x;
    }

    Node *rightRotate(Node *y) {
        Node *x = y->left;
        Node *tmp = x->right;
        x->right = y;
        y->left = tmp;
        y->height = std::max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;
        x->height = std::max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;
        return x;
    }
};
数据结构之AVL树详解
12-26
AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下...
AVL树
数据联盟
12-23 3681
在计算机科学中，AVL树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(log n)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和Evgenii Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结
C++AVL树
qq_74319491的博客
10-09 1317
介绍了AVL树的概念和详细的具体实现
DS进阶：AVL树和红黑树
weixin_51142926的博客
04-24 2750
二叉搜索树（BST）虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。 而AVL树的平衡太过严格，导致维护效率很低，因此红黑树应运而生！！
AVL树详解
moran114的博客
11-01 1164
AVL树是二叉搜索树的改进版本，思考一下，二叉搜索树有什么问题？当我们向二叉搜索树里插入有序序列时，那么二叉搜索树就会退化成线性的，查找效率会变成O(n)
数据结构——AVL树
未知陨落的博客
11-16 2736
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度
数据结构：AVL树
decade777555的博客
03-07 1742
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树（平衡二叉搜索树）
2301_81265915的博客
08-16 3493
int _bf;, _bf(0), _kv(kv){}某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉树中不存在平衡因子大于 1或小于-1的节点。在一棵平衡二叉树中，节点的平衡因子只能取 0 、1 或者 -1 ，分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。
AVL树（动图详解）
2021dragon的博客
12-02 2万+
AVL树（C++实现）
AVL树与红黑树
z202331720425的博客
09-22 940
{}// 该节点的左孩子// 该节点的右孩子// 该节点的双亲T _data;int _bf;// 该节点的平衡因子// 节点的颜色// 红黑树节点的定义{}// 节点的左孩子// 节点的右孩子// 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)// 节点的值域// 节点的颜色。
AVL树数据结构平衡二叉查找树
07-16
在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者...
精选资源
二叉查找树，AVL树
01-07
AVL树（平衡二叉查找树） 具有二叉查找树的全部特性。 每个节点的左子树的高度和右子树高度差值小于等于1（平衡二叉树的性质） 左旋：逆时针旋转两个节点，原先的右节点成为新的父节点，原先的父节点成为原先的右...
精选资源
avlTree:通用AVL树数据结构
06-18
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哈希表（HashTable）
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哈希表：也叫做散列表。是根据关键字和值（Key-Value）直接进行访问的数据结构。也就是说，它通过关键字 key 和一个映射函数 Hash(key) 计算出对应的值 value，然后把键值对映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度。这个映射函数叫做哈希函数（散列函数），用于存放记录的数组叫做 哈希表（散列表）。 哈希表的关键思想是使用哈希函数，将键 key 和值 value 映射到对应表的某个区块中。可以将算法思想分为两个部分：哈希表的原理示例图如下所示： 哈希函数：将哈希表中元素的关键键值映射为元
最大堆（MaxHeap）
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07-11 3025
性质 二叉堆是一颗完全二叉树，而完全二叉树是把元素排列成树的形状。 堆中某个节点的值总不大于其父节点的值最大堆（相应的可以定于最小堆） // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引 constexpr int parent(const int index) const { if (index == 0) { throw new NoParent(); } return (index - 1) / 2; } // 返回完全二叉树的数组表
动态数组（Array）
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存储具有一对一逻辑关系数据的存储顺序结构。 数组最大的优点：快速查询，最好应用于索引有语义的情况。 插入元素 template<typename T> bool Array<T>::add(const int index, const T& e) { if (index<0 || index>size)return false; //判断索...
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Avl树
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07-07
AVL树是一种自平衡的二叉查找树，它确保了树的高度始终保持在对数级别，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。这种数据结构以它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis的名字命名[^1]。 ### AVL树的定义 - **平衡因子**：每个节点都有一个平衡因子，它是该节点左子树的高度减去右子树的高度。对于AVL树来说，所有节点的平衡因子只能是-1, 0或1。 - **空树**：如果T是空树，则它自然是一个AVL树。 - **非空树**：若T不是空树，则其左右子树TL和TR都必须是AVL树，并且对于任意节点，|HL - HR| ≤ 1（其中HL和HR分别表示左子树和右子树的高度）。 ### AVL树的操作 当进行插入或删除操作时，可能会破坏AVL树的平衡性，这时需要通过旋转来重新恢复平衡： - **单旋转**： - 左单旋（Single Rotate with Left）用于处理左孩子的左子树过高。 - 右单旋（Single Rotate with Right）用于处理右孩子的右子树过高。 - **双旋转**： - 左右双旋（Double Rotate with Left）用于处理左孩子的右子树过高的情况。 - 右左双旋（Double Rotate with Right）用于处理右孩子的左子树过高的情况。 这些旋转操作可以保持AVL树的性质不变，并且能够快速地调整树的结构以维持平衡。 ### AVL树的实现 下面是一个简单的C语言代码示例，展示了如何定义AVL树的节点以及实现基本的插入操作。这个例子中包含了必要的函数声明和一些核心逻辑。 ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 定义AVL树节点结构体 typedef struct AvlNode { int element; struct AvlNode *left; struct AvlNode *right; int height; // 节点的高度 } *AvlTree, *Position; // 获取两个整数中的较大者 int max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; } // 计算给定节点的高度 static int Height(AvlTree T) { if (T == NULL) return -1; // 空节点高度为-1 else return T->height; } // 单旋转 - 左左情况 AvlTree singlerotatewithLeft(AvlTree K2) { Position K1 = K2->left; K2->left = K1->right; K1->right = K2; // 更新节点高度 K2->height = max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1; K1->height = max(Height(K1->left), K2->height) + 1; return K1; // 新根 } // 单旋转 - 右右情况 AvlTree singlerotatewithRight(AvlTree K2) { Position K1 = K2->right; K2->right = K1->left; K1->left = K2; // 更新节点高度 K2->height = max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1; K1->height = max(Height(K1->right), K2->height) + 1; return K1; // 新根 } // 双旋转 - 左右情况 AvlTree doublerotatewithLeft(AvlTree K3) { K3->left = singlerotatewithRight(K3->left); return singlerotatewithLeft(K3); } // 双旋转 - 右左情况 AvlTree doublerotatewithRight(AvlTree K3) { K3->right = singlerotatewithLeft(K3->right); return singlerotatewithRight(K3); } // 插入新元素到AVL树中 AvlTree Insert(int x, AvlTree T) { if (T == NULL) { // 如果树为空，创建新节点 T = (AvlTree)malloc(sizeof(struct AvlNode)); if (T == NULL) printf("Out of space!!!"); else { T->element = x; T->left = T->right = NULL; T->height = 0; // 新叶节点高度为0 } } else if (x < T->element) { // 向左子树插入 T->left = Insert(x, T->left); // 检查并修复平衡 if (Height(T->left) - Height(T->right) == 2) { if (x < T->left->element) T = singlerotatewithLeft(T); // 左左旋转 else T = doublerotatewithLeft(T); // 左右旋转 } } else if (x > T->element) { // 向右子树插入 T->right = Insert(x, T->right); // 检查并修复平衡 if (Height(T->right) - Height(T->left) == 2) { if (x > T->right->element) T = singlerotatewithRight(T); // 右右旋转 else T = doublerotatewithRight(T); // 右左旋转 } } // 更新高度 T->height = max(Height(T->left), Height(T->right)) + 1; return T; } ``` 上述代码提供了AVL树的基本框架，包括节点定义、插入操作及必要的旋转方法。实际应用中可能还需要添加更多的功能，如删除节点、查找特定值等。
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