猜数字大小（动态规划）

LeetCode每日一题（2021.11.12）【MID】

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
我从 1 到 n 之间选择一个数字。你来猜我选了哪个数字。
如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。

给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。

示例 1：
输入：n = 10
输出：16
解释：制胜策略如下：

• 数字范围是 [1,10] 。假设先猜测数字为 7 。
  • 如果这是我选中的数字，你的总费用为 0 。否则，你需要支付7 。
  • 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。
  • 假设你又猜测数字为 9 。
    • 如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 。否则，你需要支付 7+9 。
    • 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。
      这时你只需要猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为7 +9 = 16 。
    • 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。
      这时你只需要猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为7 +9 = 16 。
  • 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
    • 如果这是我选中的数字，你的总费用为7 。否则，你需要支付7+3 。
    • 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。
    • 假设你猜测数字为 5 。
      • 如果这是我选中的数字，你的总费用为7 + 3 =10 。否则，你需要支付 7+3+5 。
      • 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。
      • 这时你只需要猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为7 + 3+ 5 = 15。
      • 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。
      • 这时你只需要猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为7 + 3+ 5 = 15。
    • 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。
    • 假设你猜测数字为 1 。
      • 如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 + 3 = 10 。否则，你需要支付 7 + 3 + 1 。
      • 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。
        这时你只需要猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为7 + 3+ 1 = 11。

因此，在最糟糕的情况下，你需要支付 16 。故你只需要 16 就可以确保自己一定可以赢得游戏。

示例 2：
输入：n = 1
输出：0
解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。

示例 3：
输入：n = 2
输出：1
解释：有两个可能的数字 1 和 2 。

• 你可以先猜 1 。
  • 如果这是我选中的数字，你的总费用为 0 。否则，你需要支付 1 。
  • 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢