理解动态规划：步骤与应用实例解析-优快云博客

本文介绍了动态规划的基本概念，强调了其在解决计数、求最优解和存在性问题上的应用。通过LeetCode的三个示例详细阐述了动态规划的四个步骤：确定状态、建立转移方程、设定初始条件和边界条件，以及确定计算顺序。并提供了不同问题的编码实现思路。

动态规划

动态规划一般用数组记录下每一步的最优值，返回最后一步的值就是最优结果，相对于递归解法消除了重复计算的部分，提高的效率。

一、动态规划解决的问题特点

计数：有多少种方式从A到B、多少种方式取得某值、、、
求最优解：最大值最小值、路径上最大数据和。
存在性问题：能不能选出和为k的数、、、

选定算法前一定要判断是否为动态规划解题、有时候问题相似但不能用动态规划求解。

二、动态规划的步骤

以LeetCode 322 零钱兑换为例：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。
编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。
如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。


示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
 
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

1.确定状态

首先要确定状态就是解决问题的最后一步和确定子问题。

最后一步
就是找到解决最优策略的最后一步；
例题中最后一步就是最少用k枚硬币达到amount数额
子问题（与原问题一样，规模变小）
知道了最后一步后向前推，最少用k-1枚硬币达到amount-coin_k
简化定义就是F(x)=拼出amount的最少硬币数
如果coin_k是2，F(11)=F(11-2)+1枚
如果coin_k是5，F(11)=F(11-5)+1枚
对于示例1:F(11)=min{ F(11-1)+1 , F(11-2)+1 , F(11-5)+1 }

2.作出转移方程

由之前的结果写出转移方程
对于示例1:F(x)=min{ F(x-1)+1 , F(x-2)+1 , F(x-5)+1 }

3.注意初始条件和边界条件

对于示例1：

x的值不能小于0
不能拼凑的amount值应该怎么处理（大多数时候定义正无穷方便，有时候定义-1这种可能更方便）虽然这里1和2可以拼凑所有正整数
初始条件F(0)=0，转移方程算不出来，但是又需要用的值

4.确定计算顺序

动态规划一般都是以自底向上进行循环迭代计算，
而带备忘录的递归则是自顶向下进行计算。

在例题中：转移方程计算左边时，右边的内容都需要已经有结果了
计算F(11)时需要F(10)、F(9)、F(6)的具体值，那么从小到大计算（根据题目以及选定解题方式选定计算顺序）。

最后是编码，与理论不一样，程序编码中很多要注意的地方，如

	public int coinChange(int[] coins, int amount) {
		// 创建数组
		
		//1. 注意从0-amount有amount+1个数
		int[] f = new int[amount + 1];
		// 2.注意初始化
		f[0] = 0;

		for (int i = 1; i < f.length; i++) {
			f[i] = Integer.MAX_VALUE;
			for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
			//3.注意F(x)中x>0,并且Max+1会越界
				if (i - coins[j] >= 0 && f[i - coins[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
					f[i] = Math.min(f[i - coins[j]] + 1, f[i]);
				}
			}
		}
		if (f[amount] == Integer.MAX_VALUE) {
			f[amount] = -1;
		}
		return f[amount];
	}

例题
力扣 62.题不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28
 

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

解题步骤：

确定最后一步：到达右下角的路径数。
确定子问题：到达当前格子路径数量=到达上面各自数量+到达左边格子数量。
做出转移方程：f(x)(y)=f(x-1)(y)+f(x)(y-1)
确定初始条件和边界：第一行和第一列每格到达路径数都为1。
确定计算顺序：计算当前格需要知道上面格子与左边格子的路径数量->从前往后。

编码：

  public int uniquePaths(int m, int n) {
		// 创建数组
		int[][] f = new int[m][n];
		
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if (i == 0 || j == 0) {
					f[i][j] = 1;//初始化第一行和第一列
				} else {
					f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
				}
			}
		}
		return f[m - 1][n - 1];
	}

例题 63.不同路径Ⅱ

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？


网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入:
[
  [0,0,0],
  [0,1,0],
  [0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii
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解题步骤:
与上一题一样，只是初始条件和边界变化：

确定最后一步：到达右下角的路径数。
确定子问题：到达当前格子路径数量=到达上面各自数量+到达左边格子数量（前提为计算的格子都不包含障碍物）。
做出转移方程：f(x)(y)(不是障碍物)=f(x-1)(y)(不是障碍物)+f(x)(y-1)(不是障碍物)
确定初始条件和边界：有障碍物就为0；第一格不是障碍物就为1。
确定计算顺序：计算当前格需要知道上面格子与左边格子的路径数量->从前往后。

编码：

public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
		int m = obstacleGrid.length;
		int n = obstacleGrid[0].length;

		int[][] f = new int[m][n];

		for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
					f[i][j] = 0;//是障碍物就为0
				} else if (i == 0 && j == 0) {//第一格不是障碍物为1
					f[i][j] = obstacleGrid[i][j] == 1 ? 0 : 1;
				}  else {//没初始化第一行第一列，判断一下防止越界
					f[i][j] = (i - 1 >= 0 ? f[i - 1][j] : 0) + (j - 1 >= 0 ? f[i][j - 1] : 0);
				}
			}
		}
		return f[m - 1][n - 1];
	}

例题 70.爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶
示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs
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解题步骤：

确定最后一步：到达楼顶
确定子问题：到达当前阶层方法数量=前一层数量踏一步+上上层数量踏两步。
做出转移方程：f(x)=f(x-1)+f(x-2)
确定初始条件和边界：第一层为1,第二层为2。
确定计算顺序：计算当前层需要知道上一层与上上层数量->从前往后。

编码：

public int climbStairs(int n) {
		int[] f = new int[n];
		f[0] = 1;
		if (n > 1) {
			f[1] = 2;
			for (int i = 2; i < f.length; i++) {
				f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
			}
		}
		return f[n - 1];
	}

不用数组的话：

public int climbStairs(int n) {
        int penult=1,last=1,current=1;//倒数第二、倒数第一、当前层
        for (int i = 2; i < n+1; i++) {
            current=penult+last;
            penult=last;
            last=current;
        }
        return current;
    }