B树和B+树

1、B-树

1.1 B-树概述

B-树,这里的 B 表示 balance( 平衡),B-树是一种多路自平衡的搜索树。B-树允许每个节点有更多的子节点。B-树是专门为外部存储器设计的，如磁盘，它对于读取和写入大块数据有良好的性能，所以一般被用在文件系统及数据库中。

一个m阶的B树具有如下几个特征：

• 根结点至少有两个子女。

• 每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m

• 每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m

• 所有的叶子结点都位于同一层。

• 每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。

B-树有如下特点:

• 所有键值分布在整颗树中（索引值和具体data都在每个节点里）；
• 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
• 搜索有可能在非叶子结点结束（最好情况O(1)就能找到数据）；
• 在关键字全集内做一次查找,性能逼近二分查找；

1.2 B树深入

传统用来搜索的平衡二叉树有很多，如 AVL 树，红黑树等。这些树在一般情况下查询性能非常好，但当数据非常大的时候它们就无能为力了。原因当数据量非常大时，内存不够用，大部分数据只能存放在磁盘上，只有需要的数据才加载到内存中。一般而言内存访问的时间约为 50 ns，而磁盘在 10 ms 左右。速度相差了近 5 个数量级，磁盘读取时间远远超过了数据在内存中比较的时间。这说明程序大部分时间会阻塞在磁盘 IO 上。那么我们如何提高程序性能？减少磁盘 IO 次数，像 AVL 树，红黑树这类平衡二叉树从设计上无法“迎合”磁盘。

我们从“迎合”磁盘的角度来看看B-树的设计

索引的效率依赖与磁盘 IO 的次数，快速索引需要有效的减少磁盘 IO 次数，如何快速索引呢？索引的原理其实是不断的缩小查找范围，就如我们平时用字典查单词一样，先找首字母缩小范围，再第二个字母等等。平衡二叉树是每次将范围分割为两个区间。为了更快，B-树每次将范围分割为多个区间，区间越多，定位数据越快越精确。那么如果节点为区间范围，每个节点就较大了。所以新建节点时，直接申请页大小的空间（磁盘存储单位是按 block 分的，一般为 512 Byte。磁盘 IO 一次读取若干个 block，我们称为一页，具体大小和操作系统有关，一般为 4 k，8 k或 16 k），计算机内存分配是按页对齐的，这样就实现了一个节点只需要一次 IO。

上图是一棵简化的B-树，多叉的好处非常明显，有效的降低了B-树的高度，为底数很大的 log n，底数大小与节点的子节点数目有关，一般一棵B-树的高度在 3 层左右。层数低，每个节点区确定的范围更精确，范围缩小的速度越快（比二叉树深层次的搜索肯定快很多）。上面说了一个节点需要进行一次 IO，那么总 IO 的次数就缩减为了 log n 次。B-树的每个节点是 n 个有序的序列(a1,a2,a3…an)，并将该节点的子节点分割成 n+1 个区间来进行索引(X1< a1, a2 < X2 < a3, … , an+1 < Xn < anXn+1 > an)。

点评：B树的每个节点，都是存多个值的，不像二叉树那样，一个节点就一个值，B树把每个节点都给了一点的范围区间，区间更多的情况下，搜索也就更快了，比如：有1-100个数，二叉树一次只能分两个范围，0-50和51-100，而B树，分成4个范围 1-25， 25-50，51-75，76-100一次就能筛选走四分之三的数据。所以作为多叉树的B树是更快的

1.3 B-树的查找

我们来看看B-树的查找，假设每个节点有 n 个 key值，被分割为 n+1 个区间，注意，每个 key 值紧跟着 data 域，这说明B-树的 key 和 data 是聚合在一起的。一般而言，根节点都在内存中，B-树以每个节点为一次磁盘 IO，比如上图中，若搜索 key 为 25 节点的 data，首先在根节点进行二分查找（因为 keys 有序，二分最快），判断 key 25 小于 key 50，所以定位到最左侧的节点，此时进行一次磁盘 IO，将该节点从磁盘读入内存，接着继续进行上述过程，直到找到该 key 为止。

2、B+ 树

2.1 B+树概述

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树, 它与 B- 树的不同之处在于:

• 所有关键字存储在叶子节点出现,内部节点(非叶子节点并不存储真正的 data)
• 为所有叶子结点增加了一个链指针
  
  
  因为内节点并不存储 data，所以一般B+树的叶节点和内节点大小不同，而B-树的每个节点大小一般是相同的，为一页。

为了增加 区间访问性，一般会对B+树做一些优化。
如下图带顺序访问的B+树。

一个m阶的B+树具有如下几个特征：

• 有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

• 所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

• 所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。

2.2 B-树和B+树的区别

1.B+树内节点不存储数据，所有 data 存储在叶节点导致查询时间复杂度固定为 log n。而B-树查询时间复杂度不固定，与 key 在树中的位置有关，最好为O(1)。

如下所示B-树/B+树查询节点 key 为 50 的 data。

B-树：

从上图可以看出，key 为 50 的节点就在第一层，B-树只需要一次磁盘 IO 即可完成查找。所以说B-树的查询最好时间复杂度是 O(1)。

B+树：

由于B+树所有的 data 域都在根节点，所以查询 key 为 50的节点必须从根节点索引到叶节点，时间复杂度固定为 O(log n)。

点评：B树的由于每个节点都有key和data，所以查询的时候可能不需要O(logn)的复杂度，甚至最好的情况是O(1)就可以找到数据，而B+树由于只有叶子节点保存了data，所以必须经历O(logn)复杂度才能找到数据

2. B+树叶节点两两相连可大大增加区间访问性，可使用在范围查询等，而B-树每个节点 key 和 data 在一起，则无法区间查找。

根据空间局部性原理：如果一个存储器的某个位置被访问，那么将它附近的位置也会被访问。

B+树可以很好的利用局部性原理，若我们访问节点 key为 50，则 key 为 55、60、62 的节点将来也可能被访问，我们可以利用磁盘预读原理提前将这些数据读入内存，减少了磁盘 IO 的次数。
当然B+树也能够很好的完成范围查询。比如查询 key 值在 50-70 之间的节点。

点评：由于B+树的叶子节点的数据都是使用链表连接起来的，而且他们在磁盘里是顺序存储的，所以当读到某个值的时候，磁盘预读原理就会提前把这些数据都读进内存，使得范围查询和排序都很快

3.B+树更适合外部存储。由于内节点无 data 域，每个节点能索引的范围更大更精确

这个很好理解，由于B-树节点内部每个 key 都带着 data 域，而B+树节点只存储 key 的副本，真实的 key 和 data 域都在叶子节点存储。前面说过磁盘是分 block 的，一次磁盘 IO 会读取若干个 block，具体和操作系统有关，那么由于磁盘 IO 数据大小是固定的，在一次 IO 中，单个元素越小，量就越大。这就意味着B+树单次磁盘 IO 的信息量大于B-树，从这点来看B+树相对B-树磁盘 IO 次数少。

点评：由于B树的节点都存了key和data，而B+树只有叶子节点存data，非叶子节点都只是索引值，没有实际的数据，这就时B+树在一次IO里面，能读出的索引值更多。从而减少查询时候需要的IO次数！

参考：
一文彻底搞懂MySQL基础：B树和B+树的区别
B+树遍历与查找