第二次训练C、D、M、X题解

最新推荐文章于 2025-11-16 20:40:54 发布

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本文分享了作者的C++编程习惯，介绍了万能头文件、预编译宏的使用，并通过具体题目详解了矩阵乘法、快速幂及矩阵快速幂算法的应用。

#本人代码习惯
第一次写博客简单说一下个人的代码习惯以及介绍一些小东西

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

万能头文件大多数OJ和比赛环境都支持这个头文件相当于一次性引用了所有头文件
C++标准库中基本所有函数都需要在前面带上std:: 可以直接使用using namespace std;启用std命名空间就不用再打std::了

#include <stdio.h>

在题目有大量数据输入输出时C++的接受速度会比C标准库中的慢很多(cstdio中的scanf也比stdio.h中的慢) 所以习惯性就第一行带上stdio.h的头文件

const int INF = 0x3f3f3f3f;

竞赛常用int最大值
好处memset(arr, 0x3f, sizeof(arr));可以直接将整个数组初始化为这个值
还有这个值相加不爆int相乘不爆long long

const int MAXN = 1e2 + 10;

定义MAXN方便整体调整数组大小开头定义后面统一使用注意要加const才可以

#ifdef LOCAL
#endif

其中#ifdef LOCAL与#endif是预编译宏
当定义了#define LOCAL或在编译器中附加指令(拿DevC++5.4.0举例子在工具选项中加入-DLOCAL)
只有这样#ifdef LOCAL与#endif之间的代码才会在编译后生效
用处就是可以在中间加上调试指令提交到OJ的时候并不会生效而影响最终答案
这里写图片描述

freopen("C:/input.txt", "r", stdin);

重定向输入流从文件读入数据
在做题需要调试的时候如果题目数据量比较大每次都输入过于麻烦可以使用这条指令让程序从文件读入(C:/input.txt文件也可以是相对路径)

#C题矩阵乘法 <模拟>
按照数学的矩阵乘法规则进行模拟(详见矩阵乘法_百度百科)
附上AC代码

#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e2 + 10;
int g1[MAXN][MAXN], g2[MAXN][MAXN], g[MAXN][MAXN];

int main()
{
#ifdef LOCAL
	freopen("C:/input.txt", "r", stdin);
#endif
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) //接受矩阵1存为g1
		for (int j = 0; j < n; j++)
			scanf("%d", &g1[i][j]);
	for (int i = 0; i < n; i++) //接受矩阵2存为g2
		for (int j = 0; j < n; j++)
			scanf("%d", &g2[i][j]);
	for (int i = 0; i < n; i++) //矩阵相加存为g
		for (int j = 0; j < n; j++)
			for (int k = 0; k < n; k++)
				g[i][j] += g1[i][k] * g2[k][j];
	for (int i = 0; i < n; i++) //输出g
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			if (j)
				putchar(' '); //注意行尾不能多空格
			printf("%d", g[i][j]);
		}
		putchar('\n'); //每行有换行符
	}

	return 0;
}

#D题 WERTYU <字符串>
题目字符种类和字符串总长度都很小直接暴力做法
先建立一个字符串列表mp每个字符都进行查找然后输出其前一位的字符
采用修改接收到的字符数组再输出的方法也行注意多样例之间要输出换行否则会答案错误

#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

int main()
{
#ifdef LOCAL
	freopen("C:/input.txt", "r", stdin);
#endif
	char mp[] = "`1234567890-=QWERTYUIOP[]\ASDFGHJKL;'ZXCVBNM,./"; //滚键盘写的字符列表
	char c;
	while (scanf("%c", &c) != EOF) //我采用每次接受一个字符然后输出
	{
		int flag = 1;
		for (int i = 0; mp[i] != 0; i++)
		{
			if (mp[i] == c)
			{
				printf("%c", mp[i - 1]);
				flag = 0;
				break;
			}
		}
		if (flag) //如果接收到的不是字符列表中的字符则直接输出 如果输出过了就不会再输出了(换行符)
			printf("%c", c);
	}

	return 0;
}

#M题 A^B Mod C <数论> <快速幂>
数论的快速幂算法题目给出A,B,C都是在1e9范围内的如果采用朴素算法一次一次往上乘会超时
快速幂算法的思想 a^11 = a^8 * a^2 * a^1将次方转化为二进制的和然后用一个变量代表着a的二进制次方每次进行平方对应B次方的二进制位乘入答案中并且取模
百度百科_快速幂
 为什么数据要取模

#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

int main()
{
#ifdef LOCAL
	//freopen("C:/input.txt", "r", stdin);
#endif
	long long a, b, c, ans = 1; //直接定义为long long后面不用担心相乘的时候还没取模就爆了int
	cin >> a >> b >> c;
	while (b) //b为次方数量 此处的意思为b为0的时候不在进行循环
	{
		if (b & 1) //如果b的二进制位末尾为1则将a的对应次方乘入最终答案 详见百度百科~
			ans = (ans * a) % c; //乘完了记得取模
		a = (a * a) % c, b >>= 1; //a自身平方 相当于a^4->a^8或a^8->a^16等 b >>= 1为C++中的位运算操作 相比/2会更快
	}
	cout << ans << endl;

	return 0;
}

#X题斐波那契数列的第N项 <数论> <矩阵快速幂>
前面的矩阵乘法和快速幂就是为这题铺垫的
矩阵快速幂利用矩阵乘法得到递推式的某一项矩阵的乘法过程中利用快速幂加快计算
假设A矩阵为
$\left[ \begin{matrix} F[i - 1] & F[i] \end{matrix} \right]$
B矩阵为
$\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix} \right]$
A矩阵乘上B矩阵之后就会得到
$\left[ \begin{matrix} F[i] & F[i - 1] + F[i] \end{matrix} \right]$
根据公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)得
$\left[ \begin{matrix} F[i] & F[i + 1] \end{matrix} \right]$
等于A矩阵的两项都往后移了一项乘的这个B矩阵是F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)递推式的转移矩阵

如果A矩阵为
$\left[ \begin{matrix} F[0] & F[1] \end{matrix} \right]$
乘上转移矩阵的n-1次方后就会转化为
$\left[ \begin{matrix} F[n] & F[n + 1] \end{matrix} \right]$
这个矩阵的左边的一项则为所求下面的代码中省去了A矩阵直接求B矩阵的n-1次方
其中的u最开始的状态为单位矩阵相当于在快速幂中最开始的ans = 1 任何矩阵乘上单位矩阵都等于原矩阵

#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 9;
const int MAXN = 2; //强迫症 就算是2我也要写MAXN

void matrix(long long a[MAXN][MAXN], const long long b[MAXN][MAXN]) //矩阵乘法函数 将ab矩阵相乘然后保存回a矩阵
{
	long long t[MAXN][MAXN]; //定义一个矩阵用来保存相乘的结果2*2的二位可以开在全局变量中 太大会崩溃
	memset(t, 0, sizeof(t));
	for (int i = 0; i < MAXN; i++)
		for (int j = 0; j < MAXN; j++)
			for (int k = 0; k < MAXN; k++)
				t[i][j] = (t[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD; //矩阵相乘
	for (int i = 0; i < MAXN; i++)
		for (int j = 0; j < MAXN; j++) 
			a[i][j] = t[i][j]; //覆盖存入a中
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
	//freopen("C:/input.txt", "r", stdin);
#endif
	long long n;
	cin >> n;
	if (n == 0) //0和1的时候直接特判进行输出
		cout << 0 << endl;
	if (n == 1)
		cout << 1 << endl;
	long long t[MAXN][MAXN] = { 1, 1, 1, 0 }, u[MAXN][MAXN] = { 1, 0, 0, 1 }; //转移矩阵t 单位矩阵u
	n -= 1; //这里n不减少一次会多计算一项
	while (n) //矩阵快速幂 将矩阵的n次方转换为快速幂的形式
	{
		if (n & 1)
			matrix(u, t);
		matrix(t, t);
		n >>= 1;
	}
	cout << u[0][0] << endl; //输出u[0][0]即为第n项的答案

	return 0;
}