南开大学2014年硕士研究生入学考试高代试题（回忆版）

南开大学2014年硕士研究生入学考试试题（回忆版）

学院：011陈省身数学研究所、012数学科学学院

考试科目：802高等代数

专业：基础数学、应用数学、概率论与数理统计、应用数学、生物信息学

 

一、设$n$阶行列式$
\left|\begin{array}{cccc}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & \cdots & {{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & \cdots & {{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
{{a_{n1}}} & {{a_{n2}}} & \vdots & {{a_{nn}}}
\end{array}\right|
$$ = 1$且满足${{a}_{ij}}=-{{a}_{ji}},i,j=1,2,\cdots ,n$，对任意$x$，求$n$阶行列式

$
\left|\begin{array}{cccc}
{{a_{11}}}+x & {{a_{12}}}+x & \cdots & {{a_{1n}}}+x \\
{{a_{21}}}+x & {{a_{22}}}+x & \cdots & {{a_{2n}}}+x \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
{{a_{n1}}}+x & {{a_{n2}}}+x & \vdots & {{a_{nn}}+x}
\end{array}\right|
$

、已知向量${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}$，${{V}_{1}}$是由${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}$组成，${{V}_{2}}$是由${{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}$组成，求${{V}_{1}}+{{V}_{2}}$和${{V}_{1}}\bigcap {{V}_{2}}$的维数和一组基。 

三、已知$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0
\end{array}\right)
$

（1）证明${{A}^{2014}}=-{{A}^{2012}}+{{A}^{2}}+E$；

（2）求${{A}^{2014}}$

四、已知矩阵$
A=\left(\begin{array}{cccc}
0 & ? & ? \\
？ & x & ? \\
? & ? & 5
\end{array}\right)
$和矩阵$
B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & 10
\end{array}\right)
$相似

（1）求参数$x,y$；

（2）求正交矩阵$T$，使得${{T}^{-1}}AT=B$。

五、设$A$为$s\times n$矩阵，证明：

$s-rank({{E}_{s}}-A{{A}^{T}})=n-rank({{E}_{n}}-{{A}^{T}}A)$

六、设$A$为对称矩阵，存在线性无关的向量${{x}_{1}},{{x}_{2}}$，使得$x_{1}^{'}A{{x}_{1}}>0,x_{2}^{'}A{{x}_{2}}<0$，证明：存在线性无关的向量${{x}_{3}},{{x}_{4}}$，使得${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$线性相关，且$x_{3}^{'}A{{x}_{3}}=x_{4}^{'}A{{x}_{4}}=0$

七、设$\delta ,\tau $为线性变换且$\delta $有$n$个不同的特征值，证明：若$\delta \tau =\tau \delta $，则$\tau $可由

$I,\delta ,{{\delta }^{2}},\cdots ,{{\delta }^{n-1}}$线性表出，其中$I$为恒等变换。

八、已知$f(x)$是$A$的特征多项式，存在互素且次数分别为$p,q$的多项式$g(x),h(x)$且

$f(x)=g(x)h(x)$，求证：

$rankg(A)=q,rankh(A)=p$。

九、已知$A,B$都是反对称矩阵，且$A$可逆，求证：

$\left| {{A}^{2}}-B \right|>0$

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