2021旗舰机选购指南

手机的选购模型

TOPSIS方法

考虑影响购买手机的因素包括：手机的价格、手机的CPU性能、手机的外观：
对比的手机包括以下：iPhone13，华为P50，VIVO X70,小米 MIX 4
现在收集到几款手机的相关数据如下

	iPhone13	华为P50	VIVO X70	小米 MIX 4
价格	5999	4488	4299	5799
跑分	1700	1000	1171	1127
颜值	7	9	9	10

$$根据上面的数据我们可以得到这样一个矩阵\left(\begin{array}{ccc}5999& 1700& 7\\ 4488& 1000& 9\\ 4288& 1171& 9\\ 5799& 1127& 10\end{array}\right)$$

由于其中价格为费用形属性，而其他两项属性为效益形属性，因此我们对于价格进行取倒数处理得到矩阵A
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{5999}& 1700& 7\\ \frac{1}{4488}& 1000& 9\\ \frac{1}{4288}& 1171& 9\\ \frac{1}{5799}& 1127& 10\end{array}\right)$$
对于矩阵A中方的各列进行归一化操作之后得到矩阵A
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0.2096& 0.3401& 0.2\\ 0.2803& 0.2000& 0.2571\\ 0.2933& 0.2342& 0.2571\\ 0.2168& 0.2257& 0.2857\end{array}\right)$$

利用信息墒的计算公式分别计算每个属性的信息熵
$$f_i=-\Sigma plo{g}_2(p)$$
可以得到
$$\begin{gathered} f_{价格}=1.9840 \\ {f}_{跑分}=1.9687 \\ {f}_{颜值}=1.9884 \end{gathered}$$
将信息熵作为权重得到权重矩阵为
$$w=\left(\begin{array}{c}1.9840\\ 1.9687\\ 1.9884\end{array}\right)$$
对于权重矩阵进行归一化操作之后得到权重矩阵为
$$w=\left(\begin{array}{c}0.3339\\ 0.3313\\ 0.3363\end{array}\right)$$

采用TOPSIS方法对于最优解进行确定
对于经过得到的矩阵进行模一化操作后的：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}0.03550.66510.3969\\ 0.58480.39120.5103\\ 0.76680.48520.5103\\ 0.26290.44100.5670\end{array}\right)$$

将模一化得到的A矩阵每个量乘上对应的权重得到V矩阵如下
$$\mathbf{V}=\left(\begin{array}{c}0.01180.22030.1243\\ 0.19530.12960.1716\\ 0.25600.16070.1716\\ 0.08780.14610.1906\end{array}\right)$$

$$\begin{gathered} 正理想解：v^{+}=(0.2560,0.2203,0.1906) \\ 负理想解：v^{-}=(0.0355,0.1296,0.1243) \\ 对于每种手机分别求出其到正理想解和负理想解到距离： \\ {S}_1^{+}=0.245999S_1^{-}=0.0937453C_1^{+}=0.275929 \\ {S}_2^{+}=:0.125028S_2^{-}=:0.166653C_2^{+}=0.571354 \\ {S}_3^{+}=0.0666796S_3^{-}=0.22765C_3^{+}=:0.773453 \\ {S}_4^{+}=0.189148S_4^{-}=0.086042C_4^{+}=0.312664 \end{gathered}$$

最终我们可以得到**C⁺**向量如下
$$\begin{gathered} {\mathbf{C}}^{+}=(0.275929,0.571354,0.773453,0.312664) \\ 进行归一化之后吧得到的向量为：{\mathbf{C}}^{+}=(0.142717,0.295518,0.400048,0.161717) \end{gathered}$$
进行比较后易发现iPhone13在几款手机当中距离正理想解的相对距离最近，因此这几款手机当中最值得购买的是iPhone13

层次分析法

1.建立层次结构模型

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2.构造判断矩阵

根据重要程度的判断构造如下 的分析矩阵
$$
\bold A =\begin{pmatrix}
1\quad 1\quad 2\
1\quad 1 \quad 2\
1/2\quad 1/2\quad 1

\end{pmatrix}
$$
经过检验矩阵A具有一致性的特点

A的秩为1，A具有唯一非零特征根为$\lambda$=3，对应的特征向量为
$$w=(0.6667,0.6667,0.3333)$$
进行归一化得到对应的权重向量为
$$w=(0.4,0.4,0.2)$$

3.层次单排序及其一致性检验

$$\mathbf{C}I=\frac{\lambda -n}{n-1}=\frac{3-3}{3-1}=0$$

因此矩阵具有完全一致性

引入随机一致性指标***RI***得n=3时***RI***=0.58，因此一致性比较率$CR=\frac{\mathbf{C}I}{\mathbf{R}I}=0<0.1$,因此通过一致性检验

对于A矩阵进行列归一化之后得到
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}0.40.40.4\\ 0.40.40.4\\ 0.20.20.2\end{array}\right)\stackrel{求行和归一化}{⟹}\left(\begin{array}{c}0.4\\ 0.4\\ 0.2\end{array}\right)$$
得到最终精确结果为$\lambda$=3,$w=(0.4,0.4,0.2)$

4.层次总排序及其一致性检验

方案层对于集中属性的比较矩阵

为了保证评价阶段足够客观，直接采用TOPSIS方法中给出的客观评价的值建立矩阵

方案层对于价格的比较矩阵
$${\mathbf{B}}_1=\left(\begin{array}{c}1\frac{4488}{5999}\frac{4299}{5999}\\ \frac{5999}{4488}1\frac{4299}{4488}\\ \frac{5999}{4299}\frac{4488}{4299}1\end{array}\right)$$
其最大特征值为${\lambda }_1=3$,对应的权向量为$w_1=(0.2680,0.3581,0.3739)$

方案层对于跑分的比较方阵
$${\mathbf{B}}_2=\left(\begin{array}{c}1\frac{17}{10}\frac{1700}{1171}\\ \frac{10}{17}1\frac{1000}{1171}\\ \frac{1171}{1700}\frac{1171}{1000}1\end{array}\right)$$

其最大特征值为${\lambda }_2=3$，对应的权向量为$w_2=(0.4391,0.2583,0.3025)$

方案层对于外观的比较矩阵
$${\mathbf{B}}_3=\left(\begin{array}{c}1\frac{7}{9}\frac{7}{9}\\ \frac{9}{7}11\\ \frac{9}{7}11\end{array}\right)$$

其最大特征值为${\lambda }_3=3$，对应的权向量为$w_3=(0.2800,0.3600,0.3600)$

w2	0.4	0.4	0.2
	0.2680	0.4391	0.2800
w(3)	0.3581	0.2583	0.3600
	0.3739	0.3025	0.3600
${\lambda }_k$	3	3	3
$C{I}_k$	0	0	0

最终得到组合权值的结果如下
$$\begin{gathered} P1=0.3388 \\ P2=0.3185 \\ P3=0.3425 \end{gathered}$$
经过比较最值得购买的手机为VIVO X70