树上背包问题

最新推荐文章于 2024-10-31 11:32:23 发布

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#动态规划

本文探讨了在解决树上背包问题时如何优化树形动态规划的效率，通过避免不必要的枚举和更新子树大小来降低复杂度。举例介绍了CF 1499F和2020ICPC南京站-M两道题目，详细阐述了问题转换和状态转移矩阵的构建，强调了在更新过程中的一些关键细节，如子树大小的实时计算和转移顺序的重要性。

我们会遇到一类问题：
给你一棵n<=5000的树，要在树上跑树形dp。我们可以轻松的想出dp的定义式，第一维是代表节点，第二维是题目要维护的信息。范围均是5000。
如果我们暴力去跑的话，对于每个节点都要枚举所有子节点，并且第二维要枚举当前节点的值和子节点的值。
这样效率是 $O(n^3)$ 显然是不够的。
我们可以加入一个优化，考虑当前子树的size，子树如果比较小，第二维就没有必要枚举那么多。更进一步，我们不要预处理每个子树的size，在dp的时候不断更新，每次的size只有已经递归过的子树和根节点，这样子合并的效率是 $O(n^2)$

例题1.CF 1499F
题意：给定一颗树，让你找出一个边集的数量，边集需满足：去掉集合中的边，剩下的所有子树的直径均不大于给定的k。
思路：
我们要保证不能出现有一个子树到根的最长路径len1和另一个子树到根的最长路径len2使得len1+len2>k。
为了判断这个情况我们就能构建一个dp定义式
dp[u][len]代表以x为根的子树，最长到达根u的路径长度为len的边集数量。
我们在转移的时候，有两种情况。
1.u-v这条边不连接，那么直接先前的答案*这个子树的答案即可
2.u-v这条边连接，为了保证最开始的条件，转移的时候要避免这样的答案合并。

一个小trick：每次先把当前的dp值先拎出来，转移完再放回去，这样不用考虑类似01背包那样变量循环的方向问题。

const int maxn=5e3+5;
const ll mod=998244353;
int head[maxn],tot;
struct nn{
   
   int v,nxt;}g[maxn<<1];
void add_edge(int u,int v){
   
   g[++tot]={
   
   v,head[u]};head[u]=tot;}
ll dp[maxn][maxn],sz[maxn],n,mx,now[maxn];
void dfs(int u,int fa){
   
   
    sz[u]=1;
    dp[u][0]=1;
    for (int i=head[u];i;i=g[i].nxt){
   
   
        int v=g[i].v;
        if (v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        for (int j=0;j<=n;j++)now[j]=dp[u][j],dp[u][j]=0;
        for (int j=0;j<=sz[u];j++){
   
   
            for (int k=0;k<=min(sz[v],