[NOI2019] 机器人

Cafard_

已于 2022-04-28 12:42:20 修改

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分类专栏：解题报告文章标签： c++

于 2022-04-25 21:32:42 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Cafarde/article/details/124413613

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这篇博客介绍了NOI2019机器人赛题的详细解析，包括不同分数段的解题策略。对于20、35、50、60、100分的题目，分别给出了具体的解题思路和代码参考，涉及到暴力模拟、区间动态规划和递归优化等方法，重点讲解了如何处理不同范围内的Bi值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

题面描述

得分情况

100pts: 10
95pts: 一些
75/80/85pts: 几个
60pts: 一些
50pts: 很多
45pts: 少量
35pts: 不少
20pts: 暴多
10pts: 一堆
0pts: 巨多
(上述数据及描述性语言来自NOI讲题人的ppt)

题解

20pts: $n,B_i\leq 7$

$B_i$ 和 $n$ 都非常小，暴力模拟即可

35pts: $B_i\leq 100$

假设一个全局最高点 $p$ ,钦定 $[1, p - 1]$ 内任意点高度小于等于 $p$ 的高度, $[p + 1, n]$ 内任意点的高度小于 $p$ 的高度，显然, $p$ 将 $[1, n]$ 分割为 $[1, p - 1]$ 和 $[p + 1, n]$ 两个子问题。由此可以区间DP。
设 $dp_{l,r,x}$ 表示 $[l, r]$ 最大值恰好为x时的方案数,暴力枚举断点和最大值转移,容易得到:
$dp_{l,r,x}=\sum_{mid}\sum_{k\leq x}dp_{l,mid-1,k}\sum_{k<x} dp_{mid+1,r,k}$

利用前缀和优化

参考代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define uit unsigned int 
using namespace std;
const int N=301;
const ll M=1e9+7;
int n,A[N],B[N],dp[N][N][110];
int main(){
   
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int MAX=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&A[i],&B[i]),MAX=max(MAX,B[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
		for(int j=1;j<=MAX;j++){
   
			if(j>=A[i]&&j<=B[i]) dp[i][i][j]++;
			dp[i][i][j]=(dp[i][i][j]+dp[i][i][j-1])%M;
		}
	}
	for(int len=2;len<=n;len++)
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
   
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<=j;k++)
				if(abs((k-i)-(j-k))<=2)
				for(int w=A[k];w<=B[k];w++){
   
					if(k==i) dp[i][j][w]=(dp[i][j][w]+dp[k+1][j][w-1])%M;
					else if(k==j) dp[i][j][w]=(dp[i][j][w]+dp[i][k-1][w])%M;
					else dp[i][j][w]=(dp[i][j][w]+1ll*dp[i][k-1][w]*dp[k+1][j][w-1]%M