方向导数和梯度的辨析

        课本上在将方向导数和梯度的时候，直接给出了这两个的定义，这让人以为这两个定义是分别定义出来的，然后利用一段逻辑推理，让这个两个定义联系起来，其实这样会让读者感到很困惑，难道在求最大方向导数的时候就已经知道梯度的概念了吗？这两个竟然可以通过公式连接起来，这未免也太妙了！其实不然，首先给出这两个的通俗理解。

        方向导数是三维空间上的一点上，全方向（三个方向）增量定义的导数，是一个数。根据推导出来的导数公式知道了，方向导数和指向方向的方向余弦有关，为了使得这个数值最大，应该找到正确的方向。之后将方向导数变成某方向单位向量（用方向余弦组成）和某向量P的内积，这个时候就需要两个向量重合使得cosQ为1就好了，此时的方向导数达到最大，且最大为某向量P。那么这个向量也应该有个名字，于是乎，我们就将这个向量命名为“梯度”。梯度就是方向导数最大的方向向量，其(x,y,z)的值分别是三元函数u = u(x,y,z)，分别对x,y,z的偏导数即可。

        注意三元函数u = u(x,y,z)和二元函数z = z(x,y)的区别。这里的三元和二元指的是自变量，其中隐函数F(x,y,z) = 0属于的是二元函数。所以隐函数的求z对x,y的偏导的时候，不能直接不管z直接利用求导公式，因为直接对x,y利用求导公式是将x,y,z都当做了变量，所以有隐函数求导公式，公式中的Fx'就是表示将F= F(x,y,z)看做一个整体，对x,y,z进行求导。