2021年济南站icpc（2-SAT未补）

导语

问就是后悔，说不定能拿银，至少能铜的，矩阵那个题，欲哭无泪，以后得算一下样例再看

涉及的知识点

搜索，组合数学，二维前缀和，dp，计算几何，2-SAT

链接：The 2021 ICPC Asia Jinan Regional Contest

题目

C

题目大意：有 n 件物品，第 i 件的价值为 a[i]。A 和 B 轮流取物品，A 先手。每个玩家都要最大化自己取到的物品的价值和，求有多少种可能的游戏过程。

思路：对于这道题目，需要从两个方面来分开考虑：在忽略下标的情况下，能够组成多少种合法的数字选取序列，在获得了所有的合法序列的前提下，考虑下标，最后一共有多少种方案

对于第一个方面：因为需要得到最大和，那么每次去探讨当前的最大值即可，分成下面两种情况来考虑

1. 最大值的个数为奇数
   那么当前回合的玩家必然会拿走一个最大值，剩下的就是偶数个最大值，另一个玩家可以有别的选择
2. 最大值的个数为偶数
   如果当前玩家选了最大值，那么另一个玩家下一回合必然也会选择一个最大值

由这两种情况可以得出，任意偶数个数的数值在排列中必然是有两个连续的，举个例子，如$1,2,2,2,2$这个序列最后分得的为$22122$,$12222$,$22221$，由此可见是成对的，那么对于这些偶数个数值，求排列的问题就可以变成一对捆绑元素，插入n个空有多少种方式，显然可得$C_{n-k}^k$种，对于奇数个数的数值，假设该数值为x，那么该x的位置固定在一对x之前，并且是第一个出现的x，举个例子，对于序列$1,2,2,2,2,2$，最后分得$2,2,2,1,2,2$和$1,2,2,2,2,2$与$2,2,2,2,2,1$，可以得知，当去掉一个x之后，确定了剩下的偶数对的位置，那么第一个去掉的x的位置是固定的，就在第一个偶数对之前，可得方案数$C_{n-k-1}^k$

那么，根据排列组合的规律，设当前数值出现的个数为$a_i$，最后可以得到所有的忽略下标的排列有${\prod }_{i=1}^n{C}_{n-{\sum }_{j=1}^{i-1}{a}_i-(a_i+1)/2}^{a_i/2}$

对于第二个方面：当我们获得了有多少种排列的时候，剩下的就好做了，对于每种排列中的每种数值，将该种数值视为一个整体，其相对位置排列有$a_i!$种，那么最后就可以得到公式： ∏ k = 1 n a i ! ∏ i = 1 n C n − ∑ j = 1 i − 1 a i − ( a i + 1 ) / 2 a i / 2 \prod_{k=1}^n a_i! \prod_{i=1}^nC_{n-\sum_{j=1}^{i-1}a_i-(a_i+1)/2}^{a_i/2} ∏k=1n​ai​!∏i=1n​C