【动态规划】背包问题-01背包详解(二维数组理解&一维数组优化)

        背包问题有部分背包问题、01背包问题、完全背包问题、多重背包问题以及混合背包问题等几种，其中01背包是最为基础的，理解全了01背包问题，其他的背包问题都迎刃而解。

问题描述

有N件物品和一个容量为M的背包，设第i件物品的费用(体积\重量)是w[i]，价值是c[i]。求解如何选择物品可以使得费用(体积\重量)总和不超过背包容量V，且价值最大。

01背包的特点：每种物品只有一件，可以选择放或不放

01背包状态分析

首先复习一下动态规划的核心思想：将每个状态的最优值记录下来

状态设置：设f[i][v]表示前i个物品放入一个容量为v的背包所获得的最大价值

只需考虑背包容量为v时，物品的放置情况如下（先理思路，图在后面，要耐心看哦）：

(1)第i件物品的策略(放或不放)

放的状态：就是前i-1件物品在背包容量v-w[i]时的最优解+当前物品的价值c[i]，也就是f[i-1][v-w[i]]+c[i]

不放的状态：就是前i-1件物品在背包容量同样为v时的最优解，也就是f[i-1][v]

(2)另一种情况：第i件物品的费用大于背包容量，根本放不进状态为：f[i-1][v]

01背包状态转移方程

如果第i件物品能放入背包中(w[i] <= v)则状态转移方程为:

f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v - w[i] + c[i])

如果第i件物品不能放入背包中(w[i] > v)则状态转移方程为：

f[i][v] = f[i-1][v]

最终的最优解就是f[N][M] (有N件物品和一个容量为M的背包)

01背包基本思路

阶段数：由N件物品的数目,和背包容量M共同确定的

状态：设f[i][v]表示前i个物品(全部物品或者部分物品)放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值

边界条件：f[0][v]=0，f[i][0]=0没有物品放入最大价值为0

注意：这里的v是会变化的v=(0...M)

01背包动态规划基本思路

举一个例子我们一起来分析下：

        假设有分别a、b、c的三件物品，费用分别是2、3、4，价值分别是1、3、5现在给你承重为8的背包，如何让背包里的物品具有最大价值。

未放入物品时背包的最大价值为0​​​​

首先放a物品：

v=1时放a物品的最优解

v=2时放物品a的最优解

所以同理可以得到在背包容量从0~8的时候，物品a放入背包的剩余情况最优解。

 接着放物品b，和放a物品差不多。

 需要注意的是，当背包容量为3的时候：不放物品b的最大价值为f[i][v] = f[i-1][v] = 1；但是放入b的价值为f[i][v] = f[i-1][v-w[i]] + c[i] = 3，所以此时最大价值为3。

当背包容量为8时，放入b后，此时f[2][8]的最大价值为4。

接着继续放物品c。

最后得到在背包容量为8的时候，最大价值为8.

01背包模板题

一个旅行者有一个最多能装M公斤的背包，现在有N件物品，它们的重量分别是W1,W2,......Wn,它们的价值分别为C1，C2......Cn求旅行者能获得最大总价值的物品？

输入格式：

第一行：两个整数，M背包容量M<=200,N物品数量N<=30

第二行至N+1行：每行两个整数Wi, Ci表示每个物品的重量和价值

输出格式：

仅一行，一个数表示最大总价值

输入样例：

10  4

2    1

3    3

4    5

7    9

输出样例：

12

模板题解析

1. 确定阶段数

就是N件物品的数目,和背包容量M共同确定的

2. 确定状态

设f[i][v]表示前i种物品(全部物品或者部分物品)放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值

3. 确定状态转移方程和边界

放的进：f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]] + c[i]}

放不进：f[i][v]=f[i-1][v]

边界条件：f[0][v] = 0 , f[i][0] = 0

4. 程序实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main(){
    int M, N, w[205], c[205];
    int f[205][205]={};

    cin>>M>>N;

    for(int i = 1; i <= N; i++)
        cin>>w[i]>>c[i];

    for(int i = 1;i <= N; i++){
        for(int v = 1;v <= M; v++){
	        if(v >= w[i]){
                //放的进的时候，比较放与不放，选择最优解
	            f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]] + c[i]);  
	        }else{
	            f[i][v]=f[i-1][v];    //物品费用大于背包体积
	        } 
        }
    }
    cout<<f[N][M];   //最终解
    return 0;
}
    

01背包改进解法思路

根据f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}，放第i个物品可以发现只与前i-1个物品的状态有关

放入a物品后，更新一维数组，见下图。

放入b物品后，更新一维数组，见下图。

放入c物品后，更新一维数组，见下图。

可得状态转移方程： f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i])

注意：v值越小的越迟被覆盖，由于要被调用运算。即按v倒序运算

01背包动态规划改进解法分析（一维数组）

1、确定阶段数

就是N 件物品的数目,和背包容量 V共同确定

2、确定状态

设f[v]表示前i种物品(全部物品或者部分物品)放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值

3、确定状态转移方程和边界

f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i])

边界条件 f[0] = 0

4、程序实现

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main(){
    int N,M,w[105],c[105],f[105]={};   
    //N物品数量 V背包容量 w[k]c[k]存储物品的重量和价值，f[k]存储不同容量的最优状态

    cin>>M>>N;

    for(int i=1;i<=N;i++)
        cin>>w[i]>>c[i];

    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int v=M;v>=1;v--){     //为什么要倒序？？？
            if(v>=w[i]){
                f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i]);
            }
        }
    }

    cout<<f[M];

    return 0;
}

练习题

给大家提供一个自己搭建的HustOj，目前在逐渐加题中，有兴趣的话可以去看看，搜索自己想要的题目~

网址：http://120.26.142.136/   或者    wmast.cn