Uva348最优矩阵链乘

题意：
给出 N 个矩阵（A1，A2，…，An），求完全括号化方案，使得计算乘积（A1A2…An）所需乘法次数最少。并输出方案。

思路：经典区间DP。
要求的是【0，n-1】的最小代价。且大区间的决策依赖于小区间。矩阵连乘的最后一定有一个最后一次乘法，假设最后一个乘号在第 k 个矩阵后，也就是P = A1 x A2 x … Ak 和Q = A(k+1) x A(k+2) x … x A(n)。只需分别求出P，Q的最优方案（最优子结构）。为了计算P的最优方案，需要继续枚举P = A1 x A2 x … Ak的最后一次乘法，把它分成两部分。由此发现，这个问题的子问题都是“把Ai，A(i+1)，，Aj”乘起来需要多少次乘法。定义状态：d[ i ][ j ]：从第 i 个矩阵连续乘到第 j 个矩阵的最小乘法次数。
转移方程为：d[ i ][ j ] = min( d[ i ][ k ] + d[ k+1 ][ j ] + 最后一次乘法的代价 ).

记忆化搜索：

int f(int i, int j){
	int& ans = d[i][j];
	if(ans < INF) return ans; 
	for(int k = i; k < j; ++k){ // 没有等于！！ 
		if( ans > f(i,k) + f(k+1,j) + p[i]*q[k]*q[j] ){
			ans = f(i,k) + f(k+1,j) + p[i]*q[k]*q[j];
			mark[i][j] = k;
		}
	}
	return ans;
}

递推：

for(int len = 1; len <= n; ++len){// 枚举链乘长度（区间长度）
	for(int i = 0; i <= n-len; ++i) // 枚举区间起点
		for(int k = i; k < i+len-1; ++k){ // 枚举最后乘法的位置 
			int t = d[i][k] + d[k+1][i+len-1] + p[i]*q[k]*q[i+len-1];
			if(d[i][i+len-1] > t){
				d[i][i+len-1] = t;
				mark[i][i+len-1] = k; // 标记每次的决策，便于递归输出路径
			}
		} 
}

完整代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 20;
int d[N][N], p[N], q[N], mark[N][N];

void print_ans(int i, int j){
	if(i == j){  printf("A%d",i+1); return; }
	printf("(");
	print_ans(i, mark[i][j]);
	printf(" x ");
	print_ans(mark[i][j]+1, j);
	printf(")");
}

int f(int i, int j){
	int& ans = d[i][j];
	if(ans < INF) return ans; 
	for(int k = i; k < j; ++k){ // 没有等于！！ 
		if( ans > f(i,k) + f(k+1,j) + p[i]*q[k]*q[j] ){
			ans = f(i,k) + f(k+1,j) + p[i]*q[k]*q[j];
			mark[i][j] = k;
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	int n, kase = 1;
   	while(scanf("%d",&n) == 1&&n){
   		memset(d,0x3f,sizeof(d));
   		memset(mark,0,sizeof(mark));
   		
		for(int i = 0; i < n; ++i){
			scanf("%d %d",&p[i],&q[i]);
			d[i][i] = 0; 
		}
		
		// 递推
		for(int len = 1; len <= n; ++len){// 枚举链乘长度（区间长度）
			for(int i = 0; i <= n-len; ++i) // 枚举区间起点
				for(int k = i; k < i+len-1; ++k){ // 枚举区间内最后乘法位置 
					int t = d[i][k] + d[k+1][i+len-1] + p[i]*q[k]*q[i+len-1];
					if(d[i][i+len-1] > t){
						d[i][i+len-1] = t;
						mark[i][i+len-1] = k;
					}
				} 
		}
		 
		
		//int ans = f(0,n-1);
		//printf("%d\n",ans);
		printf("Case %d: ",kase++);
		print_ans(0,n-1);
		printf("\n");
	}

	return 0;
}