完全背包问题

原创已于 2022-03-29 20:58:42 修改 · 204 阅读

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于 2022-03-29 20:07:50 首次发布

本文探讨了无限背包问题的解决方法，给出了三种不同的实现方案，并针对第一种方案进行了优化。介绍了如何通过动态规划来确定在有限背包容量下，如何选择物品以达到价值最大化。

有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输入样例输出样例 10
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}

容易超时

#include <iostream>
using namespace std;

int v[1005];  //体积
int w[1005];   //价值
int f[1005][1005];

int main ()
{
    int N,V;
    cin >> N >> V;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=1;j<=V;j++)
        {
            if(v[i]>j)
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
            else
            {
                int t=max(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j]);   //将三种情况进行比较（选下一个，不选下一个，还选这个）
                f[i][j]=max(t,f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[N][V] << endl;
    return 0;
}

3.第一种的优化

#include <iostream>
using namespace std;

const int n=1005;
int f[n][n];
int v[n];
int w[n];

int main ()
{
    int N,V;
    cin >> N >> V;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=1;j<=V;j++)
        {
            if(v[i]>j)
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
            else
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[N][V] << endl;
    return 0;
}