广义卡尔曼-布什滤波器详细推导过程-优快云博客

作者 | 高能阿博特编辑 | 古月居

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1. Kalman-Bucy滤波器及系统背景

Kalman-Bucy滤波器本质上是一种针对线性系统的滤波器，可以在系统中存在高斯白噪声时对系统的内禀信号进行滤波，从而得到相对纯净、相对接近内禀信号的测量信号。

设滤波器的输出信号（亦即测量信号）为Y(t)，滤波器的输入信号（即系统的内禀信号，或称有用信号）为X(t)。滤波器的作用，就是将系统中的状态量X(t)在噪声影响下，借助测量值Y(t)，正确估计出来系统中的内禀（有用）信号。

系统中的有用信号可以表示为

另外，假设有用信号初值的期望已知：

方差已知：

再设系统的输出信号Y ( t ) \mathbf{Y}(t)Y(t)具有如下形式

设滤波器的滤波误差为

滤波器的设计应当满足如下条件，使得滤波器得到的状态估计量为无偏的，且估计误差的均方差

最小。

2. 系统中相关关系整理

滤波器的任务，就是根据测量值Y(t)得到状态量X(t)的估计，且该估计为无偏的和最小误差均方差的。

3. 公式推导

(1) 无偏估计条件

为满足无偏估计的条件，需要有

对式(3)两边取期望有

代入式(5)并根据式(4)有

另一方面，对式(1)两边取数学期望有（考虑到噪声的期望为0）

根据式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等号右边应该相等，那么

或

反代回式(3)，得到滤波器的结构

(2) 最小误差均方差条件

最小误差均方差条件表示为

对误差求导有（用到式(2)(9)）

其中

(3) 误差的方差条件

这里不加证明地给出如下结论：

(5) 矩阵迹的求导

为了求解式(15)，需要先介绍一些涉及到矩阵迹的求导公式

参照式(14)右边的各项，先得出如下项的迹的导数：

把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得

(6) 两个噪声之间的特殊情况

(7) 滤波器的结论

原文链接：

https://blog.youkuaiyun.com/weixin_58399148/article/details/131860905

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