分裂布雷格曼方法--(Split Bregman Method)

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AI摘要

本文深入探讨了分裂布雷格曼算法在图像处理中的应用,尤其关注于TV去噪和去卷积问题。通过对经典论文《The Split Bregman Method for L1-Regularized Problems》的解读,总结了该算法的主要步骤,包括布雷格曼迭代和分裂布雷格曼迭代的概念,以及如何通过迭代最小化问题来简化复杂的正则化优化问题。

因为毕设做TV去噪去卷积相关的内容,需要用到分裂布雷格曼算法,算是认真读了经典论文《The Split Bregman Method for L1-Regularized Problems》,翻译总结了这个算法一些主要步骤。因为数学基础不太够,所以对这个算法还没有什么太深刻的认识,先挖个坑,把毕设做完了之后再来多写一点东西。

布雷格曼迭代

考虑一个受限优化问题,一个凸能量函数,E,和一个线性函数A。要求解的一般的受限问题是

 .                    5.7

类似与引入拉普拉斯算子的方法,一般我们可以把上述问题转化为

                        5.8 

但是很多问题,我们必须要使比较大才能求解,但是这又会导致很难数值求解。

布雷格曼迭代是一个概念,最初出现在函数分析中求解凸函数的极值。最初被Osher等人引入到图像处理中,应用于TV去噪最优化问题中。先讨论布雷格曼距离,与凸函数在点有关的布雷格曼距离是

     5.9         

其中p是E在v点的子梯度。布雷格曼距离并不是一般意义上的距离,但是它确实度量了在线段u上v和的接近。我们再考虑两个凸能量函数E和H。相关的非受限最小化问题为

                      5.10

我们可以通过迭代求解这个问题

                  

 

利用布雷格曼距离求解首先优化问题,我们希望求解等式5.7给出的受限优化问题,其非受限转化形式由5.8给出。对于等式5.8,应用布雷格曼距离迭代最小化

               

上述形式可以简化为[67]

                    

换句话说,我们只需将约束中的误差加回等式5.17右侧。 这是用于TV去噪的ROF模型中“加回噪声”的类比[66]。

 

分裂布雷格曼迭代

利用分裂布雷格曼迭代的关键是分离L1和L2范数项,考虑最小化问题

.                   (5.19)

将此受限问题转化为无受限问题

                            (5.20)

对等式5.20使用布雷格曼迭代,并应用类似于等式5.17和5.18的简化,我们可以得到简洁的两步算法

       

至此,正则化优化问题已经变化为一系列非受限优化问题和布雷格曼迭代。这个方法比起传统的公式计算正则化优化问题更为简单。接下来我们需要求解等式5.21,因为我们已经分离函数中L1和L2组分,可以通过分别迭代最小化和。我们可以分别通过两步实现

             

  

综上,可以总结得到分裂布雷格曼算法的一般步骤如下所示。至此,本文总结文献给出了分裂布雷格曼方法解决L1范数优化问题的方法,具体的TV去卷积去噪的应用将在第三节给出。

 

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. 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plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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