洛谷p1603[区间dp]

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数据结构与算法专栏收录该内容

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本文深入解析区间动态规划，一种通过合并小区间最优解来求解大区间最优解的算法。介绍了核心思路，即枚举区间长度，从短到长不断合并，并通过示例代码展示具体实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1063

区间dp：在区间上进行动态规划，求解一段区间上的最优解。主要是通过合并小区间的最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。
核心思路

思路：求解在一个区间上的最优解，那么把这个区间分割成一个个小区间，求解每个小区间的最优解，再合并小区间得到大区间即可。所以可以枚举区间长度 len 为每次分割成的小区间长度（由短到长不断合并），内层枚举该长度下可以的起点。然后从这个起点到终点之间枚举分割点，求解这段小区间在某个分割点下的最优解。

int n,a[410],dp[410][410];
int main()
{
      scanf("%d",&n);
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
            scanf("%d",&a[i]);
            a[i+n]=a[i];//复制成环形
      }
    for(int len=2; len<=n; len++)//长度枚举
    {
        for(int l=1; l<=2*n-len+1; l++)//左端点
        {
            int r=l+len;
            for(int k=l+1; k<=r-1; k++)//中转点（合并点）
            {
                dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+a[l]*a[k]*a[r]);
            }

        }
    }
      int ans=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
            ans=max(ans,dp[i][n+i]);
      }
      printf("%d\n",ans);
}