51Nod 1079 中国剩余定理【水】

原创于 2020-01-13 10:25:22 发布 · 204 阅读

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本文介绍了一种基于中国剩余定理的算法，用于解决给定一组模数为质数时，寻找符合条件的最小正整数的问题。通过使用逆元求解，提供了完整的C++代码实现，适用于计算机科学和数学竞赛。

一、题目描述

1079 中国剩余定理

1.0 秒 131,072.0 KB 0 分 基础题

一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。
输入

第1行：1个数N表示后面输入的质数及模的数量。（2 <= N <= 10)
第2 - N + 1行，每行2个数P和M，中间用空格分隔，P是质数，M是K % P的结果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

输出

输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

输入样例

3
2 1
3 2
5 3

输出样例

二、算法分析说明

在这里插入图片描述

三、AC 代码

注意：本题中所有的模数都是质数，所以直接用求得逆元。其它题目中，模数不一定都是质数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#pragma warning(disable:4996)
unsigned long long n, a[10], m[10];
template<typename _Ty> inline _Ty PowerMod(_Ty radix, _Ty exp, const _Ty& mod) {
	_Ty ans = 1; radix %= mod;
	while (exp) {
		if (exp & 1)ans = (ans * radix) % mod;
		exp >>= 1, radix = (radix * radix) % mod;
	}
	return ans % mod;
}
template<class _Ty> _Ty gcd(const _Ty& a, const _Ty& b) {//a, b > 0
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
template<class _Ty> inline _Ty crt(const _Ty* a, const _Ty* m, const size_t& n) {
	_Ty x = 0, M = 1, M0;
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)M *= m[i] / gcd(M, m[i]);
	for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
		M0 = M / m[i], x += a[i] * M0 * PowerMod(M0, m[i] - 2, m[i]);
	}
	return x % M;
}
int main() {
	scanf("%llu", &n);
	for (unsigned i = 0; i < n; ++i) { scanf("%llu%llu", &m[i], &a[i]); }
	printf("%llu\n", crt(a, m, n));
	return 0;
}