小白眼里的算法

二.什么是算法

1. 基本概念
    我第一次接触编程的时候，总是听一些大佬提起用什么什么算法来解决这个问题更好一些，当时觉得算法就是一种高逼格的东西。其实不然，你写的每个程序其实大体上都可以称作是算法。算法在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
    但是同样都是算法，肯定就会有好坏之分。我们用下面这个题目来举个例子：写一个程序求1+2+3+…+100的和。
    刚学编程的人会大概率会这么写：

int sum = 0;                 //执行了一次
for(int i =0;i < 100;i++)    //执行了n+1次
{
	sum = sum + i;           //执行了n次
}
std::cout<<sum<<endl;        //执行了一次

    当然有些小伙伴可能看出这其实是个等差数列，那么我们就可以利用等差数列的性质来求解：

int sum = 0,n = 100;         //执行了一次         
sum = (1 + n) * n / 2;       //执行了一次
std::cout<<sum;              //执行了一次

    由上述代码我们可以看出两种解决方案的执行效率，方案A执行了2n+3次，方案B只执行了3次，显而易见算法B来的更加有效。

2. 算法特性
    算法具有基本的五个基本特性：

• 输入：零个或多个输入
• 输出：一个或多个输出
• 有穷性：执行有限步骤后自动结束，不会出现死循环
• 确定性：每一个步骤都有确定的含义，没有二义性
• 可执行性：每一步都能在有限次数内完成

2. 算法的设计要求

• 正确性：没有正确一切都是空谈
• 可读性：大家一定记住代码是给人看的
• 异常处理能力：输入不合法数据时能做出相关处理
• 高效率：时间效率高和存储量低

3. 算法时间复杂度

    我们通常将算法的时间复杂度记为：

• T(n)= O(f(n))

    其中T(n)是语句总的执行次数，f(n)是问题规模n的某个函数，整个式子表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。
    
以下例举一些常见的时间复杂度

执行次数函数	Value	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O($n^2$ )	平方阶
5${\log }_2^n$ +20	O($\ln n$)	对数阶
2n+3n${\log }_2^n$+19	O(n$\ln n$)	nlogn阶
$6n^3$ +2$n^2$+3n+4	O($n^3$)	立方阶
$2^n$	O($2^n$)	指数阶

    
常用的时间复杂度所耗费的时间从小打到依次是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

     由上面的一些常用的时间复杂度，其实我们差不多可以看出规律在哪了：判断一个算法的时间效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，更应该关注最高阶项（最高阶项的系数也可以忽略！），而对于常数阶，不论多大，在计算算法时间复杂度的时候均看成1就可以了。

     但是生活总是会给我们不断地制造惊喜，就好比对于一些算法，情况往往总是在不断变化的。就那排序算法来举例子，给你一个打乱的序列，要求排序成一个从大到小有序序列，那么这样的算法时间复杂度又又应该如何计算呢？

4. 算法时间复杂度的最坏情况和最好情况

    除非特别指定，否则我们提到的运行时间都是指最坏的情况下所运行的时间。

    就拿刚才的排序算法来比较，我们用大家最熟悉的冒泡排序算法来做例子，给定一个序列，要求排列成从小到大的有序序列。那么最好的情况下就是这个序列本身就是个从小到大的有序序列，那么时间复杂度为0(1)，那么最坏的情况下就是这个序列是从大到小排序的，那么时间复杂度为0($n^2$)。

5. 算法空间复杂度

    算法的空间复杂度是通过算法所需的存储空间实现，注意若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需要的辅助单元即可。若算法执行时所需要的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为0(1)。
    举个简单的例子，就拿冒泡排序来说，冒泡排序本身就是在原有的空间中运作，并不需要额外的空间来实现算法，所以冒泡排序的空间复杂度为0(1)。