动态规划解决01背包问题

问题描述

有n个物品，它们有各自的容量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

动态规划解决01背包，最重要的是填表，表会填，就理解

确定递推公式

value[i]:代表第i个物品的价值

weight[i]:代表第i个物品的体积（重量，体积，容量其实说的是一回事）

j表示为此时的背包容量

dp[i] [j]: 0到i之间的物品任取放入容量为j的背包中

那如果是dp[ i-1 ] [ j ]呢？
那就是：
0到i-1之间的物品中任取放入容量为j的背包中

那可以从几个方向可以得到dp[i] [j]呢？

1. 不放第i个物品时的最大价值： dp[i-1] [j]
2. 放入第i个物品时的最大价值：dp[ i-1 ] [ j-weight [ i]]+value[i]

因为我们求的是最大价值呀，因此取不放第i个物品时的最大价值和放入第i个物品时的最大价值的最大值，虽然说的有点啰嗦，但还是好理解的…
故可以表示为：dp[i] [j]=max{ dp[i-1] [j]，dp[i-1] [j-weight[i]]+value[i] }
【注】：

1. 放入第i个物品的时候，得先知道不放第i个物品时背包的容量吧。因此可以写一个等式来理解一下：
   放入第i个物品时的最大价值=不放第i个物品时的最大价值+第i个物品的价值
2. dp[i] [j]是一个二维数组，它的值表示的含义是此时背包可以装入的最大价值
3. dp[i-1] [j-weight[i]]：0到i-1的物品之间任取物品，放入容量为没有放入第i个物品的背包中，其中j-weight[i]就表示没有放入第i个物品背包的容量，也就是此时背包容量为j，减去第i个背包的重量。

故当前元素可以有正上方和左上方的元素递推出来。
不放物品i的意思应该是放不了物品i
为什么放不了？因为
j<weight[i]，则dp[i] [j]=dp[i-1] [j]
j>=weight[i],则dp[i] [j]=dp[ i-1 ] [ j-weight [ i]]+value[i]

动态规划解决01背包问题的核心思想是：先倒推出一个递推公式，然后顺推出第一步，接下来利用递推公式推演出所有结果和步骤。
因此我们便有了一个思路：一个题目要顺推很多次，不妨倒推一个递推公式，然后顺推第一步。

1. 当背包容量大于此时物品重量时，则要考虑回溯并加值即j>weight[i]这种情况；
2. 当背包容量小于此时物品重量时，则维持不变

两层for循环，一层背包，一层物品，对于二维的dp数组是可以颠倒的。