XDOJ-1003

题目:最喜欢的数字

描述:

zyf最喜欢的数字是1!所以他经常会使用一些手段,把一些非1的数字变 成1,并为此得意不已。他会且仅会的两种手段是:
1.把某个数m除以某个质数p——当然p必须能整除这个数,即m=m/p
2.把某个数m减1,即m=m-1
有一天他突发奇想,想把[a,b]区间中所有的数一个一个地变成1,这是一个巨大的无聊的工程,所以他想知道他最少得花多少操作才能达到目 的。

输入:

输入包含多组数据(1000组数据),EOF结束。
  每组数据以两个整数开头:a,b(0<a<=b<=100000),意义如题意描述。

输出:

每组数据输出一行,最少操作数。

样例:

2 3
3 5
11 12

样例输出:

2
4
3

 

解题思路:

数字num的最小操作数:

如果num是质数,op(num)=1;

否则,op(num) = min{op(num), op(num/m1),op(num/m2)...},其中m1,m2....是num的质因子。

这可以看作一个动态规划的问题来求解,其中两个核心的问题:(1)如何求得小于M的所有质数(2)如何求解num质因子分解。这两个问题明白后,静心思考一下,可以把个问题的解法描述为:

(1)求出小于100000的所有质数p,并提前标记op(p) = 1。

(2)从小到大计算每个数num的最小操作数。

        a. 如果op(num-1)+1<op(num),则更新op(num)

        b.利用op(num)和之前求得的质数,更新所有num×p<100000的op[num*p]值。这一步是相对不容易想到的,之前用常规的方式总是超时。

(3)根据求得的op数组,和输入的a、b,求和op[a]~op[b]。

 

#include <iostream>

using namespace std;


void cacPrime(bool *isPrime,int* primes,int* minOp,int N)
{
   isPrime[1] = false;
   for(int i=2;i<N;++i)
        isPrime[i] = true;
   int k = 1;
   minOp[1] = 0;
   for(int i=2;i<N;++i)
   {
       if(isPrime[i])
       {
           minOp[i] = 1;
           for(int j=2;i*j<N;++j)
                isPrime[i*j] = false;
            primes[k++] = i;
       }
       else
            minOp[i] = 0;

   }
   for(int i=2;i<N;++i)
   {
       if(minOp[i-1]+1<minOp[i])
            minOp[i] = minOp[i-1]+1;
       for(int j=1;j<k&&i*primes[j]<N;++j)
       {
           if(minOp[i]+1<minOp[i*primes[j]]||minOp[i*primes[j]]==0)
                minOp[i*primes[j]] = minOp[i]+1;
       }

   }
}

int main()
{
    int a,b;
    int N = 100001;
    int minOp[N];//最小操作数
    bool isPrime[N];//表示数是不是素数
    int primes[N/2];
    cacPrime(isPrime,primes,minOp,N);

    while(cin>>a>>b)
    {
        int result = 0;
        for(int i=a;i<=b;++i)
            result += minOp[i];
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}

 

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### 关于XDOJ 716 背包问题的解题思路 #### 动态规划的应用背景 背包问题是典型的组合优化问题之一,在计算机科学领域内被广泛研究。该类问题通常涉及给定一组物品,每件物品具有一定的重量和价值,在不超过总承重的前提下最大化所选物品的价值之和。 #### XDOJ 716题目特点概述 对于特定编号为716的背包问题实例而言,其核心在于综合运用多种类型的背包模型来解决问题。这类复杂度较高的题目往往融合了基础版本中的不同变体特性,比如01背包、完全背包以及多重背包等概念[^1]。 #### 解决方案设计原则 针对此类综合性较强的背包挑战,建议采用分阶段处理的方式逐步构建解决方案: - **状态定义** 定义`dp[i][j]`表示从前i个物品中挑选若干放入容量恰好等于j的最大价值。 - **转移方程推导** 对于每一个新加入考虑范围内的项目k来说,依据其属性(单次/无限次数可用),更新当前状态下最优解的可能性: - 若属于一次性使用的物件,则遵循标准01背包模式; - 如果允许重复选取相同种类的商品,则按照完全背包逻辑操作;而对于有限制数量的情况则需额外记录剩余可取数目并据此调整计算流程[^2]。 ```cpp // C++ Code Example for Mixed Knapsack Problem #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e3 + 5; int n, m; // number of items and knapsack capacity respectively. struct Item { int w, v, s; } item[N]; long long f[N]; void ZeroOnePack(int cost, int weight){ for (int i=m;i>=cost;i--) f[i]=max(f[i],f[i-cost]+weight); } void CompletePack(int cost,int value){ for(int i=cost;i<=m;++i) f[i]=max(f[i],f[i-cost]+value); } void MultiplePack(int cost,int value,int amount){ if(cost*amount >= m){CompletePack(cost,value);}else{ for(int k=1;k<amount;){ ZeroOnePack(k*cost,k*value); amount-=k; k<<=1; } ZeroOnePack(amount*cost,amount*value); } } ```
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