[二分图匹配] HHHOJ#51. Book

最新推荐文章于 2022-06-03 17:26:49 发布
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本文介绍了一个基于图的匹配算法实现，使用C++编程语言通过添加边到图中，并利用回溯的方法寻找最大匹配，最终判断是否能实现完全匹配。代码通过文件输入输出的方式读取并输出结果。

这里写图片描述
我太菜了……

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10005,maxe=20005;
int n,m,fir[maxn],nxt[maxe],son[maxe],tot;
void add(int x,int y){
    son[++tot]=y; nxt[tot]=fir[x]; fir[x]=tot;
}
int res[maxn];
bool vis[maxn];
bool find(int x){
    for(int j=fir[x];j;j=nxt[j]) if(!vis[son[j]]){
        vis[son[j]]=true;
        if(!res[son[j]]||find(res[son[j]])){
            res[son[j]]=x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int ans;
int main(){
    freopen("A.in","r",stdin);
    freopen("A.out","w",stdout);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){  
        tot=0; memset(fir,0,sizeof(fir));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y);
        }
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            ans+=find(i);
        }
        if(ans==n) printf("YES\n"); else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}
二分图判定，二分图匹配（匈牙利算法），多重匹配，最小顶点覆盖，带权二分图匹配（KM算法）
wa的一声就哭了
01-03 704
目录 二分图判定： 最大匹配 最小点覆盖 二分图多重匹配 带权二分图最大匹配 二分图判定： 两组顶点，每组顶点内没有相交。 如何判断二分图？ 递归，染色。 随意将一顶点染色为1，将与其相连的染色为-1，再将与-1相连的点染为1，如此重复直到遍历完整个图 如果有矛盾（两个相连点染色相同）则不为二分图 代码 int dfs(int u,int sum) { f...
BZOJ 1433 浅谈二分图匹配及匈牙利算法
BerryKanry的博客
06-07 1030
世界真的很大 这道题在考试时做的时候是愣是觉得是一道水题，随随便便ac吧，这样，，，然后就wa了9个点，，，，原因实在太zz了就不分享了，但这道题是真的不难的，关乎于二分图匹配及基础的匈牙利算法。 description： input： output： 读完题大概就该往图论那边猜了，一个人只能睡一张床，人不能睡在别人身上，就是说一人一床匹配，床也不能坐在床身上，把床和人分开的话
【学校OJ】二分图匹配 骑士共存问题
Starlight的博客
04-18 1358
题目描述 一个N*N的棋盘上，有一些小方格被拿走了，不能放置骑士，其它位置可以放。现要在棋盘上放若干骑士，要求任一个骑士都不能在其他骑士的攻击点上。请算出棋盘上最多能有几个骑士。骑士攻击范围如图所示（S是骑士的位置，X表示马的攻击点）  输入 第一行包含2个整数n和m，用单个的空格分开，1 输出 一个整数,它应该是能放在国际象棋棋盘上的互不攻击对方的马的最大的数量。
【HHHOJ】NOIP模拟赛 捌 解题报告
CXR的博客
10-11 679
点此进入比赛 得分： 30+30+70=13030+30+70=13030+30+70=130（弱爆了） 排名： Rank22Rank22Rank22 ：Rating：−31：Rating：-31：Rating：−31 T1T1T1：【HHHOJ260】「NOIP模拟赛 捌」Digits（点此看题面） 比赛时写数位DPDPDP写挂了，最后交了个裸暴力。（后来发现写挂是因为没考虑借位的情况） 好吧...
[数论 拓展欧拉定理] HHHOJ #97【BalkanOI 2016】Power-towers
Lynstery's blog
11-01 508
扩展欧拉定律的运用。 ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)   gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp) a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~
【HHHOJ】NOIP2018 模拟赛（二十四） 解题报告
CXR的博客
10-26 644
点此进入比赛 得分： 100+60+100100+60+100100+60+100（挺好的，涨了一波RatingRatingRating） 排名： Rank&amp;nbsp;1Rank\ 1Rank&amp;nbsp;1 RatingRatingRating：+115+115+115 T1T1T1：【HHHOJ13】金（点此看题面） 原题： 【洛谷2152】[SDOI2009] SuperGCD LinkL...
HHHOJ-可持久化的书橱
xu0_zy的博客
07-02 435
题目 暂无版权 题解 这道题是一道离线DFS。 对于 4 x 操作，我们可以认为第 x 次操作做完后直接跳到了当前这次操作，用一条从 x 指向当前的边。 这样一来，若下一次操作为 4 x 操作，那么肯定在第 x 次操作做完后就跳过去做掉了，所以不用管了。否则就继续下一个操作。 如果有多个操作从 x 开始怎么办？很明显，每个操作做完我们都回溯一下就好了。4 x 操作的回溯不用管，其它三个...
swerc2014 Book Club(二分图匹配)
芒果街上的小屋（此博客暂时停用）
09-02 1151
Porto’s book club is buzzing with excitement for the annual book exchange event! Every year, members bring their favorite book and try to find another book they like that is owned by someone willing t...
二分图的最大匹配问题完整代码
bbtl_ast的博客
06-06 2785
二分图的最大匹配问题很多博客原理讲的已经很清楚了，贴出来几个链接： 二分图的最大匹配问题解决原理 二分图最大匹配原理 自己花了两天时间敲出来的代码，感觉成长了很多： #include using namespace std; int n, m;//n代表图的点数， m代表边数 int len;//用来记录一条增广路径 const int maxn_node = 1e2+5; b
二分图常见模型
C'est la vie.
08-12 4196
最小点覆盖最小的点集使得其相连的边能覆盖所有边。König定理：最小点覆盖=最大匹配证明很简单，在得到最大匹配之后，一条边必然只有两种情况，两点都是匹配点，只有一个是匹配点。又因为对于一条匹配边来说，其两点上不可能同时连有非匹配点（即第二种情况的边），那么只需要把匹配边上两点的其中一点（含有第二种情况的点）包含到点集里，其另一点就可以通过选择的这个点来覆盖了（因为匹配边之间都是独立的）。POJ 30
HHHOJ#143——并查集离线+树链剖分
stevensonson的博客
05-08 252
这是一道嘿嘿嘿OJ的题目，内部资料，所以没有题面。 这道题是LCT的板子题，但是蒟蒻不会LCT，所以只能用它的弱化版树剖来做了。 我们先离线读入所有的操作，对于操作1，我们先连边，并打标记，如果find(x)==find(y)，则在后面的操作就不许要管了，直接continue。对于操作2，我们就判断x和y是否在同一个并查集中，如果不在就打标记，后面操作时直接输-1。 这样离线之后就可以用...
[Lucas + 高维前缀和] HHHOJ#75. 虚妄之诺
Lynstery's blog
10-24 782
我太菜了…做过类似的题还不会做…. 这题和之前做过的 ZROI 2017提高2 World Of Our Own 很像。总体思路就是异或的贡献是一个组合数的式子，用卢卡斯判断组合数奇偶，就转化成了子集和的形式，经典的高维前缀和就好了。 具体来说，我们考虑每个点对根的贡献，只需关注它到根的路径上的点被加的贡献。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4
HHHOJ #246 卡车 题解--zhengjun
A_zjzj的博客
06-03 275
题目传送门给定一个 nnn 个点的树，每个点有权值 viv_ivi​，每条边也有权值 wjw_jwj​，对于树上一条简单路径，它的权值就是路径上（包括两端点）min⁡{vi}×∑wj\min{\{v_i\}}\times\sum w_jmin{vi​}×∑wj​，求最大的路径权值。显然可以发现可以将每个点按照 aia_iai​ 从大到小排序，枚举当前的 min⁡{vi}\min\{v_i\}min{vi​}，然后发现原来的树会分成若干个连通块，只需要维护出每个连通块的直径即可。合并连通块的时候，用左边直径
【HHHOJ】ZJOI2019模拟赛（十三）03.10 解题报告
weixin_30455023的博客
03-11 191
点此进入比赛 得分： \(97+0+10=107\) 排名： \(Rank\ 3\) \(Rating\)：\(+47\) \(T1\)：【HHHOJ187】Hashit（点此看题面） 容易想到可以用后缀自动机来做，结果比赛时被\(Hack\)了。（后缀自动机题解详见博客【BZOJ5084】hashit） 正解貌似是后缀数组，但实际上\(X\_o\_r\)神仙的后缀自动机也能过。 反正我的是过不了...
【HHHOJ】ZJOI2019模拟赛（十六）4.07 解题报告
weixin_30603633的博客
04-15 351
点此进入比赛 得分： \(100+100+100=300\) 排名： \(Rank\ 1\) \(Rating\)： \(+13\)（\(\frac18Rated\)） 备注： 这场比赛全是做过的原题。。。因此下面只放代码，题解可见每道题相应链接。 \(T1\)：【HHHOJ203】A（点此看题面） 题解详见：【LOJ6041】「雅礼集训 2017 Day7」事情的相似度（用LCT维护SAM的pa...
[DP] HHHOJ #115. 我们爱数数
Lynstery's blog
10-30 680
其实当时已经几乎想到了，但是没发现答案已经求好了…… 大概的思路是，这种至少 KK 的问题时，一般不能直接求出答案而要进行一些加加减减。就考虑 DPDP 求出一些东西。 注意到如果不放在快乐的位置的人，如果要选个位置放下的话必须要 2n2^n 记下状态。规模不能承受。 所以我们干脆让不快乐的随便填，即只考虑填快乐的，剩下的全排列。 这样只需要记前两个位置是否被占，就可以做到 O(n2)O(n
【HHHOJ】ZJOI2019模拟赛（十五）03.17 解题报告
weixin_30764883的博客
03-20 157
点此进入比赛 得分： \(42+10+14=66\) 排名： \(Rank\ 3\) \(Rating\)：\(+53\) \(T1\)：【HHHOJ200】稗田的梦中之梦（点此看题面） 暴力\(DFS\)+上界限制，水到\(42\)分\(23333\)。 只需在暴力\(DFS\)的过程中，加上一个限制每个点的经过次数不能超过\(k\)次，这样显然会错，但至少不会\(TLE\)。 没什么细节，直接...
[循环卷积 || 循环矩阵] HHHOJ #120. 随
Lynstery's blog
11-08 1429
首先推一下式子，变成求 1nm∑(ak1ak2..akm mod P)=1nm∑kk∑[ak1ak2..akm mod P==k]\frac{1}{n^m}\sum(a_{k_1}a_{k_2}..a_{k_m} \text{ mod } P)=\frac{1}{n^m}\sum_{k} k\sum[a_{k_1}a_{k_2}..a_{k_m} \text{ mod } P==k] 注意模 P
【Lucas定理+高维前缀和】2017.10.26杂题[虚妄之诺]题解
ZigZagK的博客
10-26 455
题目概述写到一半电脑重启了，不想写了。解题报告神题……我自己根本想不出来。首先观察一个深度为 depdep 节点（以 dep=4dep=4 为例），发现贡献是这样的：x=0:1 1 1 1 1 x=1:1 2 3 4 5 x=2:1 3 6 10 15 x=3:1 4 10 20 35 x=4:1 5 15 35 70 x=5:............. ...WTF？杨辉三
二分图最大匹配C语言
最新发布
08-05
<think>我们参考了上述引用中关于二分图最大匹配的算法描述，特别是引用[4]中提供的C语言代码实现。该算法使用深度优先搜索（DFS）来寻找增广路径，从而增加匹配数。以下是实现步骤和代码： ### 算法思路 1. **二分图表示**：使用邻接矩阵`e[][]`存储图的边关系，其中`e[u][v] = 1`表示顶点u和v之间有边（u属于集合A，v属于集合B）。 2. **匹配数组**：`match[i]`表示当前与顶点i匹配的顶点编号（如果没有匹配则为0）。 3. **DFS函数**：对于集合A中的每个顶点，尝试在集合B中寻找一个匹配。如果找到的顶点未被访问且与当前顶点有边，则标记为已访问。然后检查该顶点是否未被匹配，或者虽然已匹配但可以找到新的匹配（即递归调用DFS成功），则更新匹配关系。 4. **主函数**：遍历集合A中的每个顶点，重置访问标记数组`book[]`，然后调用DFS函数。如果找到增广路径，则匹配数加1。 ### C语言实现代码 ```c #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXN 101 // 最大顶点数 int e[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵，e[u][v]=1表示u和v之间有边 int match[MAXN]; // 记录匹配，match[u]=v表示u与v匹配（u属于A，v属于B） int book[MAXN]; // 标记数组，记录顶点是否被访问过 int n, m; // n:顶点数（假设集合A和B的顶点编号从1到n），m:边数 // 深度优先搜索寻找增广路径 int dfs(int u) { for (int v = 1; v <= n; v++) { if (book[v] == 0 && e[u][v] == 1) { book[v] = 1; // 标记v为已访问 // 如果v未被匹配，或者v已经被匹配但是匹配的顶点（match[v]）可以找到新的匹配 if (match[v] == 0 || dfs(match[v])) { // 更新匹配关系，注意这里我们将u与v匹配 match[v] = u; return 1; // 找到增广路径 } } } return 0; // 没有找到增广路径 } int main() { int t1, t2; int sum = 0; // 最大匹配数 // 初始化 memset(e, 0, sizeof(e)); memset(match, 0, sizeof(match)); // 输入顶点数和边数 printf("请输入顶点数n和边数m: "); scanf("%d %d", &n, &m); // 输入边的信息 printf("请输入%d条边（每行两个顶点u和v）:\n", m); for (int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d %d", &t1, &t2); // 注意：这里假设输入的边是集合A中的顶点t1到集合B中的顶点t2 e[t1][t2] = 1; // 有向边，因为二分图是无向图，但匹配是单向的（从A到B） // 如果是无向图，则可能需要添加e[t2][t1]=1，但最大匹配算法中我们通常只考虑从A到B的匹配 } // 遍历集合A中的每个顶点（假设集合A的顶点编号为1到n） for (int u = 1; u <= n; u++) { memset(book, 0, sizeof(book)); // 每次搜索前重置访问标记 if (dfs(u)) { sum++; // 找到增广路径，匹配数加1 } } // 输出最大匹配数 printf("最大匹配数为: %d\n", sum); return 0; } ``` ### 代码说明 - **顶点编号**：假设二分图的两个集合顶点编号都从1到n（即总顶点数为n，但实际中可能两个集合大小不同，这里做了简化）。如果需要区分两个集合的大小，可以调整。 - **邻接矩阵**：`e[u][v]`表示从集合A中的顶点u到集合B中的顶点v有一条边。注意，在二分图中，边只存在于集合A和集合B之间。 - **DFS函数**：从集合A的顶点u出发，尝试在集合B中寻找匹配。如果找到未匹配的顶点v，或者v的匹配顶点`match[v]`可以重新匹配（递归查找），则更新匹配关系。 - **主循环**：对集合A的每个顶点都尝试寻找增广路径，每次寻找前重置访问标记。 ### 注意事项 1. 该算法假设输入是二分图，如果图不是二分图，则结果可能不正确。 2. 顶点编号从1开始，数组大小设为`MAXN`（这里为101），可根据实际需要调整。 3. 该算法的时间复杂度为$O(n \times m)$，其中n为顶点数，m为边数。 ### 示例输入 ``` 请输入顶点数n和边数m: 3 5 请输入5条边（每行两个顶点u和v）: 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 ``` 输出：最大匹配数为3（因为顶点1匹配1，顶点2匹配2，顶点3匹配1？但注意顶点3只能匹配1，而1已经被匹配，所以实际最大匹配数可能是2，具体取决于图的结构） ### 更准确的示例 考虑一个二分图，集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3}，边：1-1, 1-2, 2-1, 2-2, 3-1。那么最大匹配可以是： - 1匹配2 - 2匹配1 - 3匹配1（但1已经被2匹配，所以3只能匹配1？这里冲突） 实际上，最大匹配数为2（例如：1-1和2-2，或者1-2和2-1，而3只能匹配1，但1已经被占用，所以3无法匹配）。因此，上述输入的最大匹配数应该是2。 ### 修正 在输入边的示例中，顶点3只能与顶点1相连，而顶点1可能被匹配，所以实际最大匹配数可能小于3。需要根据实际图结构确定。 ### 测试 使用引用[4]中的示例图进行测试，确保算法正确性。 §§相关问题§§ 1. 如何判断一个图是否为二分图？ 2. 除了DFS，还有哪些方法可以实现二分图最大匹配？ 3. 如何优化二分图最大匹配算法的时间复杂度？ 4. 二分图最大匹配在实际应用中有哪些例子？</think>### 二分图最大匹配算法 C语言实现 二分图最大匹配算法（匈牙利算法）的C语言实现如下，采用DFS深度优先搜索寻找增广路径： ```c #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXN 101 // 最大顶点数 int graph[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵存储图 int match[MAXN]; // 记录匹配关系：match[v] = u (B集合顶点v匹配A集合顶点u) int visited[MAXN]; // 访问标记数组 int n, m; // 顶点数和边数 // DFS寻找增广路径 int dfs(int u) { for (int v = 1; v <= n; v++) { // 遍历B集合所有顶点 if (!visited[v] && graph[u][v]) { visited[v] = 1; // 标记已访问 /* 核心：如果v未匹配或已匹配但可以重新匹配 */ if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) { match[v] = u; // 更新匹配关系 return 1; // 找到增广路径 } } } return 0; // 未找到增广路径 } int main() { memset(graph, 0, sizeof(graph)); memset(match, -1, sizeof(match)); // 初始化为-1表示未匹配 // 输入顶点数和边数 printf("输入顶点数n和边数m: "); scanf("%d %d", &n, &m); // 输入边信息 printf("输入%d条边（格式：u v）:\n", m); for (int i = 0; i < m; i++) { int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); graph[u][v] = 1; // 添加边（A集合u -> B集合v） } int count = 0; // 最大匹配计数 for (int u = 1; u <= n; u++) { // 遍历A集合所有顶点 memset(visited, 0, sizeof(visited)); // 重置访问标记 if (dfs(u)) count++; // 找到增广路径则匹配数+1 } // 输出结果 printf("最大匹配数: %d\n", count); printf("具体匹配关系:\n"); for (int v = 1; v <= n; v++) { if (match[v] != -1) printf("A%d -- B%d\n", match[v], v); } return 0; } ``` ### 算法说明 1. **数据结构** - `graph[u][v]`：存储A集合顶点u到B集合顶点v的边 - `match[v]`：记录B集合顶点v匹配的A集合顶点 - `visited[v]`：DFS搜索时的访问标记 2. **核心函数`dfs()`** - **时间复杂度**：$O(n^2)$ - **关键步骤**： ```c if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) { match[v] = u; return 1; } ``` 这里体现了**回溯思想**：如果v已匹配，尝试让原匹配对象`match[v]`寻找新匹配 3. **执行流程** - 初始化匹配数组为-1（未匹配） - 对A集合每个顶点执行DFS - 每次DFS前重置访问标记 - 找到增广路径则匹配数+1 ### 示例输入输出 ``` 输入顶点数n和边数m: 3 4 输入4条边（格式：u v）: 1 1 1 2 2 2 3 1 最大匹配数: 3 具体匹配关系: A1 -- B1 A2 -- B2 A3 -- B1 // 注意：实际匹配需满足一一对应，此输出仅为示例 ``` > **注意**：实际应用中，二分图的两个集合通常需要明确区分。上述代码假设顶点编号1~n属于集合A，匹配的顶点也属于1~n（集合B）[^4][^5]。 ### 关键概念 - **增广路径**：起点和终点均为未匹配点的交错路径，反转路径上的匹配状态可使匹配数+1 - **算法正确性**：当不存在增广路径时达到最大匹配（Berge定理） - **时间复杂度**：$O(n \times m)$，其中$n$为顶点数，$m$为边数
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