[反演] 2017 计蒜之道 复赛 A. 阿里云秘钥池

不错的题。

我们就是要解决小于n的合法的数有几个。有个套路就是考虑最高的和 $n$ 不一样的位，后面就随便填了，可以枚举一下统计答案。现在只需要算这样一个东西：$f[i][j]$ 表示数字共 $i$ 位，最高位是 $j$ 的合法方案。

推式子就好啦

$$f[i][j]=\sum_{k=1}^{P-1} [gcd(j,k)=1]f[i-1][k]$$

$$=\sum_{k=1}^{P-1}f[i-1][k]\sum_{d|k,d|j} \mu(d)=\sum_{d|j}\mu(d)\sum_{dt\le P-1} f[i-1][dt]$$

这样就可以可以每层 $P log_2 P$ 转移了。总复杂度算一下就会发现很科学：$O(log_p R\ P \ log_2 P)=O(P\ log_2 R)$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100005,N=100000;
int p[maxn],mu[maxn];
bool vis[maxn];
void get_mu(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]) p[++p[0]]=i, mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&(LL)i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0){ mu[i*p[j]]=0; break; }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int _test,P;
LL f[70][maxn];
int tem[70];
inline int gcd(int x,int y){ return y==0?x:gcd(y,x%y); }
LL Calc(LL n){
    memset(tem,0,sizeof(tem));
    LL _n=n; do tem[++tem[0]]=_n%P, _n/=P; while(_n);
    for(int i=0;i<=tem[0];i++) for(int j=0;j<=P;j++) f[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=P-1;i++) f[1][i]=1;
    for(int i=1;i<=P-1;i++){
        LL _g=0; for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) _g+=f[1][i*j];
        for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) f[2][i*j]+=_g*mu[i];
    }
    for(int k=2;k<=tem[0];k++){
        for(int i=1;i<=P-1;i++){
            LL _g=0; for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) _g+=f[k][i*j];
            for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) f[k+1][i*j]+=_g*mu[i];
        }
    }
    LL res=0;
    for(int i=1;i<=tem[0]-1;i++)
     for(int j=1;j<=P-1;j++) res+=f[i][j];
    for(int i=tem[0];i>=1;i--){
        for(int j=1;j<=tem[i]-1;j++) if(i==tem[0]||gcd(tem[i+1],j)==1) 
        res+=f[i][j];
        if((tem[0]>i&&gcd(tem[i+1],tem[i])!=1)||tem[i]==0) break;
    }
    return res;
} 
int main(){
    freopen("jskA.in","r",stdin);
    freopen("jskA.out","w",stdout);
    get_mu();
    scanf("%d",&_test);
    while(_test--){
        LL L,R; scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&P);
        printf("%lld\n",Calc(R+1)-Calc(L)); 
    }
    return 0;
}