BZOJ 1492

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1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券和 B券的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

OP% 的 A券和 OP% 的 B券以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

可恶的精度...(说不定是我写丑了)

可以看到,每次操作不是全买就是全卖

f[i]=max{f[i-1],A[i]*X[j]+B[i]*Y[j]} X[j],Y[j]是f[j]可以买的A,B的个数

-A[i]/B[i]*X[j]+f[i]/B[i]=Y[j]

斜率不递增,就用一个cdq分治

我们把按斜率降序排序,维护一个上凸壳即可

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 100005
using namespace std;
typedef long double ldb;
const ldb eps=1e-10;
int bh[maxn],n,s,q[maxn],t[maxn];
ldb x[maxn],a[maxn],b[maxn],y[maxn],f[maxn],rate[maxn],k[maxn];
int compa(const int x,const int y){return k[x]>k[y];}
int comp(const int a,const int b){return fabs(x[a]-x[b])<eps?y[a]<y[b]:x[a]<x[b];}
int dcmp(ldb x){
    return fabs(x)<eps?0:(x<0?-1:1);
}
void turn(int p,ldb fx){
    if(dcmp(f[p]-fx)>=0)return ;
    f[p]=fx;
    y[p]=f[p]/(rate[p]*a[p]+b[p]);
    x[p]=f[p]*rate[p]/(rate[p]*a[p]+b[p]);
}
ldb getk(int n,int m){
    return (y[n]-y[m])/(x[n]-x[m]);
}
void cdq(int xl,int xr){
    if(xl==xr)return ;
    int mid=xl+xr>>1;
    int ptr=xl,rptr=mid+1;
    for(int i=xl;i<=xr;++i){
        if(bh[i]<=mid)t[ptr++]=bh[i];
        else t[rptr++]=bh[i];
    }
    for(int i=xl;i<=xr;++i)bh[i]=t[i];
    cdq(xl,mid);
    int l=1,r=0;
    for(int i=xl;i<=mid;++i){
        while(l<r&&dcmp(getk(bh[i],q[r])-getk(q[r],q[r-1]))>=0)r--;
        q[++r]=bh[i];
    }
    for(int i=mid+1;i<=xr;++i){
        while(l<r&&dcmp(k[bh[i]]-getk(q[l],q[l+1]))<=0)l++;
        turn(bh[i],a[bh[i]]*x[q[l]]+b[bh[i]]*y[q[l]]);
    }
    for(int i=mid+1;i<=xr;++i)turn(i,f[i-1]);
    cdq(mid+1,xr);
    int i=xl,j=mid+1;
    for(ptr=xl;i<=mid&&j<=xr;){
        if(comp(bh[i],bh[j]))t[ptr++]=bh[i++];
        else t[ptr++]=bh[j++];
    }
    for(;i<=mid;)t[ptr++]=bh[i++];
    for(;j<=xr;)t[ptr++]=bh[j++];
    for(int i=xl;i<=xr;++i)bh[i]=t[i];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%Lf%Lf%Lf",&a[i],&b[i],&rate[i]),k[i]=-a[i]/b[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)bh[i]=i,turn(i,s);
    sort(bh+1,bh+n+1,compa);
    cdq(1,n);
    ldb ans=s;
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[i]);
    printf("%.3lf",(double)ans);
}