【C++ 学习笔记】数据结构——树的概念和定义

【C++ 学习笔记】数据结构——树的概念和定义

一、基本概念

1.树

树是$n(n\ge 0)$个结点的有限集合$T$(Tree)。
当$n=0$时，称为空树；
当$n>0$时， 该集合满足如下条件：

1. 其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继。
2. 其余n-1个结点可以划分成$m(m\ge 0)$个互不相交的有限集$T_1$，$T_2$，$T_3$，$...$，$T_m$，其中$T_i$又是一棵树，称为根root的子树。 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直接后继。
   
   $$图1.树的图示方法$$

2.树的相关概念

1. 结点：包含一个数据元素及若干指向其它结点的分支信息。
2. 结点的度：一个结点的子树个数称为此结点的度。
3. 叶结点：度为$0$的结点，即无后继的结点，也称为终端结点。
4. 分支结点：度不为$0$的结点，也称为非终端结点。
5. 孩子结点：一个结点的直接后继称为该结点的孩子结点。
6. 双亲结点：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点。
7. 兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
8. 祖先结点：一个结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径上的所有结点。在图1中，结点$K$的祖先是$A$、$B$、$E$。
9. 子孙结点：一个结点的直接后继和间接后继称为该结点的子孙结点。在图1中，结点$D$的子孙是$H$、$I$、 $J$、 $M$。
10. 树的度： 树中所有结点的度的最大值。
11. 结点的层次：从根结点开始定义，根结点的层次为$1$，根的直接后继的层次为$2$，依此类推。
12. 树的高度（深度）： 树中所有结点的层次的最大值。
13. 有序树：在树$T$中，如果各子树$T_i$之间是有先后次序的，则称为有序树。
14. 森林： $m(m\ge 0)$棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。

二、二叉树的定义与基本操作

1.定义

我们把满足以下两个条件的树形结构叫做二叉树（Binary Tree）：

1. 每个结点的度都不大于2；
2. 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。

由此定义可以看出，一个二叉树中的每个结点只能含有$0$、 $1$或$2$个孩子，而且每个孩子有左右之分。我们把位于左边的孩子叫做左孩子，位于右边的孩子叫做右孩子。

$$图2.二叉树的五种基本形态$$

2.满二叉树

深度为$k$且有$2^k-1$个结点的二叉树。在满二叉树中，每层结点都是满的，即每层结点都具有最大结点数。 图3(a)所示的二叉树，即为一棵满二叉树。
满二叉树的顺序表示，即从二叉树的根开始， 层间从上到下， 层内从左到右，逐层进行编号（$1$， $2$， $\dots$， $n$）。例如图3(a)所示的满二叉树的顺序表示为($1$， $2$， $3$， $4$， $5$， $6$， $7$， $8$， $9$， $10$， $11$， $12$， $13$， $14$， $15$)。

$$图3.满二叉树与完全二叉树$$

3.完全二叉树

深度为$k$，结点数为$n$的二叉树，如果其结点$1$ ~ $n$的位置序号分别与满二叉树的结点$1$ ~ $n$的位置序号一一对应(也就是深度为$1$ ~ $k-1$的所有结点都是满二叉树，第$k$层结点全部都靠在左边)，则为完全二叉树， 如图3(b)所示。
满二叉树必为完全二叉树， 而完全二叉树不一定是满二叉树。

三、二叉树的性质

性质1: 在二叉树的第$i$层上至多有$2^{i-1}$个结点$(i\ge 1)$。

证明： 用数学归纳法。
归纳基础：当$i=1$时，整个二叉树只有一根结点，此时$2^{i-1}=2^0$