◆程序笔记◆◇第四期◇扩展欧几里得算法

Lucky_Glass的程序笔记

第四期-扩展欧几里得算法

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欧几里得算法是一种高效的求 gcd(a,b) 的算法，可以通过递推或递归计算。经过验算，我们发现——当a < b时，gcd(a,b)==gcd(a,b-a)，否则等于 gcd(b,b-ka) （k为b整除a的值）。但是这样对栈空间的浪费极大，我们可以发现 b-ka 就是b取模a，即 b%a 。现在给出了一个问题——给定 a、b ，求出任意一组整数 x,y ，使得 xa+by==gcd(a,b) 。而求x、y的算法就是扩展欧几里得算法。

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1. 扩展欧几里得算法的推导
   根据题意，我们可以令gcd(a,b)=f；则有xa+yb=f，且其中都只包含整数。
   先从特殊的情况开始考虑——当递归到b为0时，则得到 xa+0*y=a ，那么y可以取任意值（这也是会有多组解的原因），但是x只能取1。
   接下来考虑一般的情况。因为 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ，则令 bx’ + (a%b)y’ = gcd(b,a%b) 。那么 bx’ + ( a % b ) y’ = ax + by 。推导到这里，式中出现了一个 mod(取模)，那么我们需要把mod拆开。这里用到了一个定义 “[a]”，意思是对a向0取整。那么 C++中的 a%b 用代数式就可以表示为：a - [ a / b ] * b，那么原式改为：
   $bx' + ( a - [ a / b ] * b ) y' = ax + by$
   又可改为：
   $bx' + ay' - [ a / b ] * b * y' = ax + by$
   最后变为：
   $ay' + b * ( x' - [ a / b ] * y' ) = ax + by$
   根据对应项系数相等，则得——对于每一步的x,y都有： $x = y'$ 且 $y = x' - [ a / b ] * y'$。

2. 扩展欧几里得算法的C++实现
   接下来就是将算法代码化。我们可以对我们之前的gcd(a,b)函数进行一些修改，原本的gcd函数为：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a % b);
}

我们需要将每一步的x、y都代入函数中。则可以应用 “传址” 的方法，在参数表中加入 x、y和sum（该次递归中的 ax+by 的值），即：

int gcd(int &x,int &y,int &sum,int a,int b);

当 b==0 时，则分别将 x、y 赋值为 1 和 0（y也可以赋值为其他数，但0较为方便），sum 赋值为 a 。 b != 0 时，先定义 sx、sy (即 x’ 和 y’)，后执行gcd()函数。最后返回时，x 则赋值为 sy ，y则赋值为 sx - a / b * sy。如果不需要求出 gcd(a,b) 的话，函数是可以不返回值的。
3. 样例程序

void gcd(int& x,int& y,int sum,int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;sum=a;
        return;
    }
    int sx,sy;
    gcd(sx,sy,sum,b,a%b);
    x=sy;
    y=sx-a/b*sy;
}

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The End

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-Lucky_Glass

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