练习题讲解-【搜索算法】置棋问题

【基础算法】置棋问题

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题目描述：
在M*N的主格中任意指定X个格子构成一个棋盘，而其它格子是残缺的，不能放棋子。在任一个构成的棋盘上放置K个棋子，要求任意两个棋子不得位于同一行或同一列上。求满足条件的所有方案数。
注意：棋盘是稀疏的，即X＜(M*N)/2
编程任务：
1. 对给定的一个棋盘，求出该棋盘可放置的最多的棋子数P；
2. 该棋盘上恰好放置i个棋子时的方案总数（1≤i≤P）,其中经旋转和镜面反射而得的方案记为不同的方案

输入：
第1行：2个整数M,N，表示棋盘的行数和列数( 1＜M，N＜10)
接下来是M行，每行N个空格分开的数字（0或者1），1表示相应的格子在棋盘上，0表示相应的格子不在棋盘上。

输出：
第1行：1个整数表示可放置的最多的棋子数P 接下来P行，每行分别列出放i（1≤i≤P）个棋子时的方案总数。

样例输入：
5 4
0 1 1 1
0 1 0 0
1 1 1 0
0 0 1 0
0 0 1 1
样例输出：
4
1:10
2:28
3:24
4:5

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题目分析：
此题与八皇后问题极其相似，而且相对简单，只需要考虑行和列（八皇后问题需要考虑对角线）。虽然题目这样描述：

要求任意两个棋子不得位于同一行或同一列上

但是我们其实只用考虑行和列中的一个（作者选用行row），其中原因作者之后会详细介绍。

首先我们需要一个二维的bool数组（chess）来模拟矩阵中的棋盘（可以放置棋子的位置），读入r,c（行，列边界）后，直接读入矩阵（虽然C++并不完全认可bool类型的输入输出，但我们仍然可以用scanf读入bool类型，非0即真）。

然后我们看到题目要求求出放置i枚棋子的方法总数和棋子的最大放置量，因此我们可以定义一个循环变量（全局）need=1来表示放置的棋子总数。但是题目要求的是输出最大放置量后再输出每一次的方法总数，我们就需要用一个一维数组answer保存答案。每一次的答案我们可以用全局变量tot储存，注意进行下一次循环时要将tot清0。在（无限）循环中，我们需要调用求方案数的函数。

现在作者可以解释为什么只需要判断行和列中的一个了——题目中描述：

棋盘是稀疏的，即X＜(M*N)/2

这一点非常重要，为了避免重复超时，我们每放置一枚棋子就跳转到下一列（行）继续放置，这样就不会有同一列上有多个棋子的情况。但是有一个情况必须考虑：该列没有棋子，因此在枚举棋子的位置之前先要尝试跳转到下一列（行），把当前列留空。

之后就是写函数flag(int y,int put)。flag内部的参数有两个——当前列y，已经放置的棋子数量put。我们还需要一个边界，同样是两种情况：每一列都枚举了，但放置棋子数量不够（put < need）；放置的棋子数量已经达到（put==need），方案数加1（tot++）。这两种情况都应该return。然后尝试把当前列留空（flag(y+1,put)），直到函数再次递归回来，就for循环枚举x的值。判断是否满足条件（if(!row[x] && chess[x][y])），若满足，则进行下一次放置，当递归回来时，需要回溯。

当所有情况枚举完毕，回到for循环，判断tot的值，若为零（无法放置），则退出，否则将其保存在answer中（answer[need]=tot）。

最后输出need-1的值（need为无法放置时的棋子个数），再输出答案。

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程序样例：

#include<cstdio>
bool row[15],chess[15][15]; //行，棋盘
int r,c,need,tot=0,answer[15]; //边界r,c；此时需要放置的棋子总数；答案
void flag(int y,int put)
{
    if(put==need) {tot++;return;} //放置完成
    if(y>=c) return; //超出边界
    flag(y+1,put); //此列留空
    for(int x=0;x<r;x++) //枚举
        if(!row[x] && chess[x][y])
        {
            row[x]=true;
            flag(y+1,put+1); //下一列
            row[x]=false;
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&r,&c);
    for(int i=0;i<r;i++) //输入
        for(int j=0,x;j<c;j++)
            scanf("%d",&chess[i][j]);
    for(need=1;1;need++)
    {
        tot=0; //清0
        flag(0,0);
        if(tot==0) break; //无法放置
        answer[need]=tot; //保存答案
    }
    printf("%d\n",need-1); //输出
    for(int i=1;i<need;i++)
        printf("%d:%d\n",i,answer[i]);
    return 0;
}