CF513D Social Circles

题目

传送门

题目大意

你请了$N(N\le 10^5)$个客人吃饭，它们的椅子需要围成一个或多个圈，但是客人们都有些害羞，第$i$个客人希望他的左手边至少有$l_i$个空椅子，右手边至少有$r_i$个空椅子，问你最少需要多少个椅子。注意：客人会对自己感到害羞，也就是说，就算他所在的椅子圈只有他一个人，也要满足上述条件。

思路

肯定要让两个客人的左右手匹配得越多越好，也就是说要最小化 max ⁡ { r j , l i } \max\{r_j,l_i\} max{rj​,li​}，如果你足够贪心，直接可以想到：分别按左右手排序，最大的左手和最大的右手匹配，以此类推，然后你就AC了。

排完序后，假如不是$r_1$和$l_1$、$r_2$和$l_2$匹配，而是$r_1$和$l_2$、$r_2$和$l_1$匹配，我们可以比较 max ⁡ { r 1 , l 1 } + max ⁡ { r 2 , l 2 } \max\{r_1,l_1\}+\max\{r_2,l_2\} max{r1​,l1​}+max{r2​,l2​}和 max ⁡ { r 1 , l 2 } + max ⁡ { r 2 , l 1 } \max\{r_1,l_2\}+\max\{r_2,l_1\} max{r1​,l2​}+max{r2​,l1​}的大小。

不妨设$r_1>l_1$（因为可以把所有人的左右手一起互换，但不能只换一部分），则$r_1>l_2$，那么：
max ⁡ { r 1 , l 1 } + max ⁡ { r 2 , l 2 } − max ⁡ { r 1 , l 2 } − max ⁡ { r 2 , l 1 } \max\{r_1,l_1\}+\max\{r_2,l_2\}-\max\{r_1,l_2\}-\max\{r_2,l_1\} max{r1​,l1​}+max{r2​,l2​}−max{r1​,l2​}−max{r2​,l1​}
= r 1 + max ⁡ { r 2 , l 2 } − r 1 − max ⁡ { r 2 , l 1 } =r_1+\max\{r_2,l_2\}-r_1-\max\{r_2,l_1\} =r1​+max{r2​,l2​}−r1​−max{r2​,l1​}
= max ⁡ { r 2 , l 2 } − max ⁡ { r 2 , l 1 } =\max\{r_2,l_2\}-\max\{r_2,l_1\} =max{r2​,l2​}−max{r2​,l1​}
分三类：

• $r_2\le l_2$
• $l_2<r_2\le l_1$
• $l_1<r_2$

发现 max ⁡ { r 2 , l 2 } − max ⁡ { r 2 , l 1 } ≤ 0 \max\{r_2,l_2\}-\max\{r_2,l_1\}\leq 0 max{r2​,l2​}−max{r2​,l1​}≤0，即第二种方法不比第一种方法优。

（这个证明其实不严谨，但是比较好理解）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100000
int N;
int Left[MAXN+5],Right[MAXN+5];

int main(){
    scanf("%d",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d%d",Left+i,Right+i);
    sort(Left+1,Left+N+1);
    sort(Right+1,Right+N+1);
    long long Ans=N;//每个人还要占一个位置
    for(int i=1;i<=N;i++)
        Ans+=max(Left[i],Right[i]);
    printf("%I64d",Ans);
}