【UVA - 116】Unidirectional TSP（DP+路径输出）_tsp 输出完整路径-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/C20190102/article/details/81705293

本文介绍了一种解决循环矩阵中寻找从起始列到结束列路径的问题，该路径数值和最小且字典序最小。通过逆向动态规划的方法，找到每个节点的前驱节点，最终输出最优路径。

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题目

题目大意

在数字矩阵中，你可以从第一列的任何一个位置出发，每次可以向右上、右或右下走一步，在最上面一行往上走会走到最下面一行，最下面一行往下走会走到最上面一行（即矩阵从上到下是循环的）。问走到最右边一列经过的数之和最小是多少，并输出走到每一列你所在的行，多解时输出字典序最小的一组解。

分析

本来是顺推，然后贪心保证每一步从一个最小的行号转移过来，发现有反例……
倒推并贪心即可， $dp[i][j]$ 表示走到 $i$ 行 $j$ 列路径上的最小数字和，则：

d p [i] [j] = m i n (d p [i - 1] [j + 1], d p [i] [j + 1], d p [i + 1] [j + 1]) + A [i] [j]

$dp[i][j]=min(dp[i-1][j+1],dp[i][j+1],dp[i+1][j+1])+A[i][j]$
再处理一下循环的问题，贪心找最小的转移方案，存前驱输出答案即可。

代码

枚举 $i$ 和 $j$ 写得有点丑，是因为本来把行和列弄混了= =

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000
#define MAXM 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
int N,M;
int A[MAXN+5][MAXM+5];
int dp[MAXN+5][MAXM+5];
int pre[MAXN+5][MAXM+5];

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        for(int i=1;i<=N;i++)
            for(int j=1;j<=M;j++)
                scanf("%d",&A[i][j]);
        memset(dp,0x3f,sizeof dp);
        for(int i=1;i<=N;i++)
            dp[i][M+1]=0;
        //N行M列
        for(int i=M;i>=1;i--){//倒过来枚举列
            for(int j=1;j<=N;j++){//枚举行
                int tmp[3]={j>1?j-1:N,j,j==N?1:j+1};
                sort(tmp,tmp+3);//排序方便找字典序最小解
                for(int k=0;k<3;k++)
                    if(dp[j][i]>dp[tmp[k]][i+1])//没有等号
                        dp[j][i]=dp[pre[j][i]=tmp[k]][i+1];
                dp[j][i]+=A[j][i];
            }
        }
        int Ans=INF,p=0;
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(dp[i][1]<Ans)
                Ans=dp[p=i][1];
        printf("%d",p);
        for(int i=1;i<M;i++){
            printf(" %d",pre[p][i]);
            p=pre[p][i];
        }
        printf("\n%d\n",Ans);
    }
}