【BZOJ 1076】奖励关

【题意】

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

【分析】

个人觉得这类概率dp一般都是倒着做。因为由于概率的存在，我们能够确定的只有初始状态，而对末状态一无所知。
于是，我们设$f[i][S]$表示游戏从第$i$轮开始游戏，游戏结束后获取物体的状态为S时，获得分数的期望，则有：
f[i][S]=max{∑S[j]Sf[i+1][S′]∗1n∗w[j],f[i+1][S]}f[i][S]=max\{\sum_{S[j] \varsubsetneq S}f[i+1][S']*\frac{1}{n}*w[j],f[i+1][S]\}f[i][S]=max{S[j]S∑​f[i+1][S′]∗n1​∗w[j],f[i+1][S]}

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mm = 105, mn = 16;
double f[mm][1 << mn], w[mm];
int s[mn];
int main()
{
    int n, m, x, i, j, k;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int lim = 1 << m;
    double p = 1.0 / (double) m;
    for(i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%lf", &w[i]);
        while(~scanf("%d", &x) && x)
            s[i] |= (1 << (x - 1));
    }
    for(i = n; i; i--)
        for(j = 0; j < lim; j++)
        {
            for(k = 0; k < m; k++)
                if((j & s[k]) == s[k])
                    f[i][j] += max(f[i + 1][j], f[i + 1][j | (1 << k)] + w[k]);
                else
                    f[i][j] += f[i + 1][j];
            f[i][j] *= p;
        }
    printf("%.6lf\n", f[1][0]);
}