BZOJ 4318 OSU!【概率DP（立方期望）】

题目描述：

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长度为n的串，有p[i]的概率为1，1-p[i]的概率为0，求所有极长的连续为1的子串长度的立方之和的期望值。n<=100000

题目分析：

记$f[i][3]$表示算到第$i$位前面所有极长的连续为1的子串长度的立方之和的期望，为方便理解，记$f[i-1][3]=Last+Now$，$Last$表示已经完结的期望，$Now$表示以$i$结尾的期望，首先让$f[i][3]=Last$，转移状态只有两种：
当前位为0，$f[i][3]+=Now\ast (1-p[i])$
当前为为1，这时候就需要考虑前面连续的1的长度，设加上当前1后末尾连续1的长度为$x$，由$$x^3=(x-1{)}^3+3(x-1{)}^2+3(x-1)+1$$可以得到$$E(x^3)=E((x-1{)}^3)+3\ast E((x-1{)}^2)+3\ast E(x-1)+1$$记$f[i][2]$表示以$i$结尾的连续的1的长度的平方的期望，$f[i][1]$表示以$i$结尾的连续的1的长度的期望
可得$$f[i][3]+=(Now+3f[i-1][2]+3f[i-1][1]+1)\ast p[i]$$
合起来就是$$\begin{array}{rl}f[i][3]& =Last+Now\ast (1-p[i])+(Now+3f[i-1][2]+3f[i-1][1]+1)\ast p[i]\\ & =Last+Now+(3f[i-1][2]+3f[i-1][1]+1)\ast p[i]\\ & =f[i-1][3]+(3f[i-1][2]+3f[i-1][1]+1)\ast p[i]\end{array}$$
同理可得$f[i][2]=(f[i-1][2]+2f[i-1][1]+1)\ast p[i]$，$f[i][1]=(f[i-1][1]+1)\ast p[i]$

这道题的拆分以及立方期望转化都很精妙。

Code：

#include<cstdio>
int main()
{
	int n;scanf("%d",&n);
	double f1=0,f2=0,f3=0,p;
	while(n--){
		scanf("%lf",&p);
		f3=f3+(3*f2+3*f1+1)*p;
		f2=(f2+2*f1+1)*p;
		f1=(f1+1)*p;
	}
	printf("%.1f",f3);
}