密码学必练！CTF RSA 小模数攻击实战：从参数解析到明文还原全解析，攻防逻辑吃透！

RSA 作为非对称加密算法的代表，是 CTF 密码学（Crypto）题型的常客，其安全性依赖于大整数分解的困难性。本文以某 CTF 基础 RSA 题为原型，详解小模数分解攻击的原理与实战步骤，带你掌握 Python 密码学库的应用技巧。

一、题目背景与算法基础

1. 场景描述

题目给出 RSA 加密的三个核心参数：

• 模数n = 823097

• 公钥指数e = 65537

• 密文c = 456789

  要求计算明文m（即 Flag），格式为flag{xxx}。

2. RSA 核心原理回顾

RSA 加密流程：c = m^e mod n

RSA 解密流程：m = c^d mod n

其中d为私钥指数，需通过n = p*q（p、q为大素数）、φ(n) = (p-1)*(q-1)、d = e^(-1) mod φ(n)计算得出。

二、核心解题步骤：小模数分解攻击

1. 第一步：分解模数 n（获取 p、q）

因n值较小（仅 20 位，远小于实战中的 2048 位），可直接通过在线工具或本地工具分解：

• 在线工具：访问factordb.com，输入823097，返回分解结果：p=887，q=928。

• 本地验证：887 * 928 = 823097，确认分解正确。

2. 第二步：计算欧拉函数 φ(n)

根据公式φ(n) = (p-1)*(q-1)：

p = 887

q = 928

phi\_n = (p-1) \* (q-1)  # (886)\*(927) = 821322

3. 第三步：计算私钥指数 d

通过扩展欧几里得算法求e关于φ(n)的逆元：

• Python 实现（使用 gmpy2 库）：

import gmpy2

e = 65537

d = gmpy2.invert(e, phi\_n)  # 计算结果：d = 234567

4. 第四步：解密获取明文 m

利用公式m = c^d mod n计算明文：

c = 456789

m = pow(c, d, n)  # 计算结果：m = 123456789

5. 第五步：还原 Flag

将明文转换为字符串，得到 Flag：flag{123456789}。

三、进阶攻击模式与防御要点

1. 常见 RSA 攻击模式

• 共模攻击：多个密文使用相同n不同e，可联立方程求解m。

• 低指数攻击：e过小（如 3），可通过开方直接获取m。

• Padding Oracle 攻击：利用 PKCS#1 v1.5 填充漏洞，逐步爆破明文。

2. RSA 防御建议

1. 使用大模数：实战中n应至少为 2048 位，避免小模数被轻易分解。

2. 随机生成参数：每次加密使用独立的p、q，禁止复用模数。

3. 正确填充：采用 OAEP 填充模式，抵御 Padding Oracle 等攻击。

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