图像处理基础(6)：锐化空间滤波器

前面介绍的几种滤波器都属于平滑滤波器（低通滤波器），用来平滑图像和抑制噪声的；而锐化空间滤波器恰恰相反，主要用来增强图像的突变信息，图像的细节和边缘信息。平滑滤波器主要是使用邻域的均值（或者中值）来代替模板中心的像素，消弱和邻域间的差别，以达到平滑图像和抑制噪声的目的；相反，锐化滤波器则使用邻域的微分作为算子，增大邻域间像素的差值，使图像的突变部分变的更加明显。

本位主要介绍了一下几点内容：
- 图像的一阶微分和二阶微分的性质
- 几种常见的一阶微分算子
- 二阶微分算子 - Laplace 拉普拉斯算子
- 一阶微分算子和二阶微分算子得到边缘的对比

一阶微分和二阶微分的性质

既然是基于一阶微分和二阶微分的锐化空间滤波器，那么首先就要了解下一阶和二阶微分的性质。

图像的锐化也就是增强图像的突变部分，那么我们也就对图像的恒定区域中，突变的开始点与结束点（台阶和斜坡突变）及沿着灰度斜坡处的微分的性质。微分是对函数局部变化率的一种表示，那么对于一阶微分有以下几个性质：

• 在恒定的灰度区域，图像的微分值为0.（灰度值没有发生变换，自然微分为0）
• 在灰度台阶或斜坡起点处微分值不为0.（台阶是，灰度值的突变变化较大；斜坡则是灰度值变化较缓慢；灰度值发生了变化，微分值不为0）
• 沿着斜坡的微分值不为0.

二阶微分，是一阶微分的导数，和一阶微分相对应，也有以下几点性质:

• 在恒定区域二阶微分值为0
• 在灰度台阶或斜坡的起点处微分值不为0
• 沿着斜坡的微分值为0.

从以上图像灰度的一阶和二阶微分的性质可以看出，在灰度值变化的地方，一阶微分和二阶微分的值都不为0；在灰度恒定的地方，微分值都为0.也就是说，不论是使用一阶微分还是二阶微分都可以得到图像灰度的变化值。

图像可以看着是二维离散函数，对于图像的一阶微分其计算公式如下：
在x方向，$\frac{\partial f} {\partial x} = f(x + 1) - f(x)$.
在y方向，$\frac{\partial f} {\partial y} = f(y + 1) - f(y)$

对于二阶微分有:
在x方向，$\frac{\partial^2 f} {\partial x^2} = f(x + 1) + f(x - 1) - 2 f(x)$.
在y方向，$\frac{\partial^2 f} {\partial y^2} = f(y + 1) + f(y - 1) -2 f(y)$

对于 图像边缘处的灰度值来说，通常有两种突变形式：

• 边缘两边图像灰度差异较大，这就形成了灰度台阶。在台阶处，一阶微分和二阶微分的值都不为0.
• 边缘两边图像灰度变化不如台阶那么剧烈，会形成一个缓慢变换的灰度斜坡。在斜坡的起点和终点一阶微分和二阶微分的值都不为0，但是沿着斜坡一阶微分的值不为0，而二阶微分的值为0.

对于图像的边缘来说，通常会形成一个斜坡过度。一阶微分在斜坡处的值不为0，那么用其得到的边缘较粗；而二阶微分在斜坡处的值为0，但在斜坡两端值不为0，且值得符号不一样，这样二阶微分得到的是一个由0分开的一个像素宽的双边缘。也就说，二阶微分在增强图像细节方面比一阶微分好得多，并且在计算上也要比一阶微分方便。

梯度图

在图像处理中的一阶微分通常使用梯度的幅值来实现。对于图像$f(x,y)$,$f$在坐标$(x,y)$处的梯度是一个列向量

$$\nabla f = grad(f) = \left[ \begin{array}{c} g_x \\ g_y \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} \frac{\partial f} {\partial x} \\ \frac{\partial f} {\partial y} \end{array} \right]$$
该向量表示图像中的像素在点 $(x,y)$处灰度值的最大变化率的方向。
向量 ∇f