POJ 2142 : The Balance-解不定方程,一元线性同余

题意：

有一天平质量为a和b的砝码已知砝码数量不限且天平左右均可以放砝码，现在要求用天平称出c的物品各需要多少

解法一：

转化为ax+by=c的一组整数解（x，y）要求|x|+|y|尽量小

利用扩展欧几里得求出特解x0 和 y0然后给出通项公式

x=x0+a/d*t    

y=y0+b/d*t

  对于方程的全部解x=x0+（a/d）t   y=y0+（b/d）*t
   |x|+|y|= | x + b/g*t | + | y - a/g*t |     
    这个关于t的函数的最小值应该在|y - a/g*t|为零附近，即t=y*g/a 
    在 y*g/a 附近的两整数点里取t,再直接验证这两点即可。 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
//因为是long long,所以提交时ABS()报错CE了！哭！好吧，自己写一个...

LL ABS(LL x){
	if(x<0) return -x;
	else return x;
}

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d)
{
 if(!b)
 {
  d=a;
  x=1;
  y=0;
 }
 else
 {
  exgcd(b,a%b,y,x,d);
  y-=x*(a/b);
 }	
}

int main(){
	LL a,b,c,d;
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)&&a&&b&&c){
		LL x,y,d,i;
		bool ifsub=0;
		if(a<b){
			ifsub=1;
			i=a;
			a=b;
			b=i;
		}
		exgcd(a,b,x,y,d);
		x=x*(c/d);
		y=y*(c/d);
		LL t=y/(a/d),min=99999,u,v;
		for(i=t-1;i<=t+1;i++){
			LL xx=x+b/d*i;
			LL yy=y-a/d*i;
			if(ABS(xx)+ABS(yy)<min){
				min=ABS(xx)+ABS(yy);
				u=ABS(xx);
				v=ABS(yy);
			}
		}
		if(ifsub) printf("%lld %lld\n",v,u);
		else printf("%lld %lld\n",u,v);
	}
}

  

   

  

解法二：

引用自http://blog.youkuaiyun.com/famousdt/article/details/7456609

有三种情况：
ax+by=d;(a,b均在左盘)
ax-by=d;（a在左盘，b和d在右盘）
-ax+by=d;（b在左盘，a和d在右盘）
枚举a，求满足条件的解。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int i,a,b,d,x,y,xx,yy;
    int sum1,sum2;
    while(cin>>a>>b>>d)
    {
        if(a==0 && b==0 && d==0)break;
        int min1=9000000,min2=9000000;
        int t=0;
        xx=0;yy=0;
        for(i=0; ; i++){
            if((d-a*i)%b==0)//ax+by=d 和 ax-by=d 两种情况，用绝对值表示，所以合写成一个if 
            {
                yy=abs((d-a*i)/b);
                sum1=i+yy;
                sum2=a*i+b*yy;
                if(sum1<min1)
                    min1=sum1,min2=sum2,x=i,y=yy;
                else if(sum1==min1 && sum2<min2)
                    min1=sum1,min2=sum2,x=i,y=yy;
                if(i>min1 || i*a>min2)//如果x的值比x+y的值都大或者a*x比a*x+b*y 的值都大了就跳出 
                    break;
            }
            int l=i*a+d;
            if(l>0 && l%b==0)//-ax+by=d的情况 
            {
                yy=l/b;    
                sum1=i+yy;
                sum2=a*i+b*yy;
                if(sum1<min1)
                    min1=sum1,min2=sum2,x=i,y=yy;
                else if(sum1==min1 && sum2<min2)
                    min1=sum1,min2=sum2,x=i,y=yy;
                if(i>min1 || i*a>min2)//如果x的值比x+y的值都大或者a*x比a*x+b*y 的值都大了就跳出
                    break;
                
            }
        }

        cout<<x<<" "<<y<<endl;

    }

return 0;
}