bozj2669（容斥+状压dp）

最新推荐文章于 2020-09-11 21:27:11 发布

bluelanzhan

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分类专栏：数论状压dp 容斥

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本文探讨了一种针对二维网格中局部最小值计数的动态规划算法，详细介绍了状态转移方程及其背后的逻辑，适用于网格中最多8个局部最小值的情况。通过递归遍历和剪枝策略，有效地计算出所有可能的填充方案数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一张图最多8个局部最小值。

dp[i][j]表示正在填从小到大第i个数，局部最小值所在的位置已被填的情况为j时的方案数

p[i] 为局部最小值所在的位置已被填的情况为j时，所有可以填数的位置数。（x为没被填的局部最小值，x的周围都不能填，如果填了x就不是局部最小值了！所以才会存在可以填数的位置数）

当i 不为局部最小值时 dp[i][j] += dp[i-1][j]*(p[i] - i + 1);

当i 为局部最小值时，枚举i填的是状态j中的哪一个局部最小值 dp[i][j] += dp[i-1][j^(1<<(k-1))];

在第二种情况时，是局部最小值的点一定是局部最小值，不是局部最小值的点可能会变成局部最小值，需要剪掉多算的部分。

在dfs时容斥一下=、=

http://www.cto800.com/view/50553177130254010924.html（这个写的特别好）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
using namespace std;
const int mod = 12345678;
int n, m, zl[15][2] = {{1,1},{1,0},{-1,0},{-1,-1},{0,-1},{0,1},{-1,1},{1,-1},{0,0}};
char chu[5][10];
int ans, p[260], f[50][260], zhan[10][8], vis[10][10];
int dp()
{
	memset(p,0,sizeof(p));
	memset(f,0,sizeof(f));
   int top = 0;
   for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
    	if(chu[i][j] == 'X')
    	{
    		top++;
    		zhan[top][0] = i;
    		zhan[top][1] = j;
    	}
    }
   for(int k = 0; k < (1 << top); k++)
   {
   	memset(vis,0,sizeof(vis));
   	for(int j = 1; j <= top; j++)
   		if((k & (1 << (j - 1))) == 0) vis[zhan[j][0]][zhan[j][1]] = 1;
   	for(int i = 1; i <= n; i++)
   	 for(int j = 1; j <= m; j++)
   	 	for(int z = 0; z <= 9; z++)
   	 	{
   	 		if(z == 9){ p[k] ++; break;} 
   	 	   if(vis[i + zl[z][0]][j + zl[z][1]] == 1) break;
		}
   }
   f[0][0] = 1;
   for(int i = 1; i <= n * m; i++)
      for(int j = 0; j < (1 << top); j++)
      {
        f[i][j] = 1ll * f[i - 1][j] * max(0, p[j] - i + 1) % mod;
		for(int k = 1; k <= top; k++)
		{
		  if(j & 1 << (k-1)) f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j^(1<<(k-1))]) % mod;
		} 
      }
   return f[n*m][(1<<top) - 1];
}
void dfs(int x, int y, int t)
{
	if(y == m+1) {
		dfs(x+1,1,t);	return ;
	}
	if(x == n+1) 
	{
		int ha = -1;
		if(t % 2 == 0) ha = 1;
		ans = (ans + 1ll * ha * dp() + mod) % mod;
		return ;
	}
   dfs(x, y+1, t);
   for(int i = 0; i <= 9; i++)
   {
   	if(i == 9)
   	{
   	chu[x][y] = 'X';
   	dfs(x,y+1,t+1);
   	chu[x][y] = '.';
   	break;
   	}
	if(chu[x + zl[i][0]][y + zl[i][1]] == 'X')
   	 break;
   }
}
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	 scanf("%s",chu[i]+1);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	 for(int j = 1; j <= m; j++)
	 {
	 	if(chu[i][j] == 'X') 
	 	for(int k = 0; k < 8; k++)
	     if(chu[i+zl[k][0]][j+zl[k][1]] == 'X')
	     {
	        printf("0");
			return 0; 
	     }
	 }
	dfs(1,1,0);
	cout << (ans + mod) %mod;
	return 0;
}