【矩阵快速幂】233 Matrix HDU - 5015

最新推荐文章于 2021-08-14 10:29:24 发布

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#矩阵快速幂

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定数列求值问题的方法。通过转换数列形式和构建递推关系，实现了对大规模数列的有效计算。文章详细解析了递推关系的难点，并提供了AC代码示例。

Think:
1知识点：矩阵快速幂
2题意：定义一个233矩阵，第一行形如233， 23333， 233333， 233…（即a[0][1] = 233, a[0][2] = 2333,a[0][3] = 23333, a[0][4] = 233…）,现输入n列的第一个数（即a[1][0], a[2][0], … , a[n][0]），询问a[n][m](n ≤ 10,m ≤ 1e9)的值
3思路：
（1）：由题意可知m范围可达到1e9，进而思考是否可寻找到第m列和第m-1列的关系
第一列：
a1
a2
a3
a4
则第二列
23*10+3 + a1
23*10+3 + a2 + a1
23*10+3 + a3 + a2 + a1
23*10+3 + a4 + a3 + a2 + a1
分析第一行和第二行可知，递推关系难点1在于如何找到23和3向下传递的传递关系，难点2在于如何找到ai累加关系的实现
脑洞——转化
新的第一列：
23
a1
a2
a3
a4
3
新的第二列：
23*10 + 3
23*10+3 + a1
23*10+3 + a2 + a1
23*10+3 + a3 + a2 + a1
23*10+3 + a4 + a3 + a2 + a1
3
转化关系？

图像来源博客地址——感谢博主

vjudge题目链接

建议参考博客——参考题意分析 & 思路

以下为Accepted代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 10000007;

struct Matrix{
    LL v[14][14];
};

Matrix multiply(Matrix x, Matrix y, int Matrix_len);
Matrix matrix_pow(Matrix a, int k, int Matrix_len);

int main(){
    int n, m, i, j;
    Matrix a, b, c;
    while(~scanf("%d %d", &n, &m)){
        memset(a.v, 0, sizeof(a.v));
        memset(b.v, 0, sizeof(b.v));
        a.v[0][0] = 23;
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%lld", &a.v[i][0]);
        a.v[n+1][0] = 3;
        for(i = 0; i <= n+1; i++){
            i != n+1? b.v[i][0] = 10: b.v[i][0] = 0;
            b.v[i][n+1] = 1;
        }
        for(i = 1; i <= n; i++){
            for(j = 1; j <= i; j++){
                b.v[i][j] = 1;
            }
        }
        c = matrix_pow(b, m, n+2);
        a = multiply(c, a, n+2);
        printf("%lld\n", a.v[n][0]);
    }
    return 0;
}
Matrix multiply(Matrix x, Matrix y, int Matrix_len){
    Matrix z;
    memset(z.v, 0, sizeof(z.v));
    for(int i = 0; i < Matrix_len; i++){
        for(int j = 0; j < Matrix_len; j++){
            for(int k = 0; k < Matrix_len; k++){
                z.v[i][j] += x.v[i][k] * y.v[k][j];
                z.v[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return z;
}
Matrix matrix_pow(Matrix a, int k, int Matrix_len){
    Matrix b;
    for(int i = 0; i < Matrix_len; i++){
        for(int j = 0; j < Matrix_len; j++){
            i == j? b.v[i][j] = 1: b.v[i][j] = 0;
        }
    }
    while(k){
        if(k & 1)
            b = multiply(b, a, Matrix_len);
        a = multiply(a, a, Matrix_len);
        k >>= 1;
    }
    return b;
}