C - Heavy Transportation——spfa()算法

本文介绍了一种基于SPFA算法的最短路径问题变形求解方法,重点在于如何找到从起点到终点所有可达路径中权值最小的最大值。通过对比正确与错误的实现代码,强调了数组初始化的重要性。

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Think:
1知识点:spfa()算法+最短路径变形
2题意:求n = 1的点到 n = n 的所有可达路径中(当前路径权值最小的)最大值
3反思:注意不要忘记e数组初始化

以下为Wrong Answer代码——题意理解错误

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 4;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, e[N][N], dis[N], vis[N];

void spfa();

int main(){
    int T, k, m, i, u, v, w;
    scanf("%d", &T);
    for(k = 1; k <= T; k++){
        scanf("%d %d", &n, &m);
        memset(e, 0, sizeof(e));
        for(i = 1; i <= m; i++){
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
            e[u][v] = e[v][u] = w;
        }
        spfa();
        printf("Scenario #%d:\n", k);
        printf("%d\n", dis[n]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
void spfa(){
    queue <int> q;
    memset(dis, inf, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));

    q.push(1), dis[1] = 0, vis[1] = 1;
    while(!q.empty()){
        int t1 = q.front();
        q.pop();
        vis[t1] = 0;
        for(int v = 1; v <= n; v++){
            if(max(dis[t1], e[t1][v]) < dis[v]){
                dis[v] = max(dis[t1], e[t1][v]);
                if(!vis[v]){
                    q.push(v);
                    vis[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

以下为Wrong Answer代码——e数组未初始化

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1014;

int n, m, e[N][N], vis[N], dis[N];

void spfa(int x);

int main(){
    int k = 1, T, i, u, v, w;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for(i = 0; i < m; i++){
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
            e[u][v] = e[v][u] = w;
        }
        spfa(1);
        printf("Scenario #%d:\n", k++);
        printf("%d\n", dis[n]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
void spfa(int x){
    queue <int> q;
    while(!q.empty()){
        q.pop();
    }
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, 0, sizeof(dis));
    vis[x] = 1, dis[x] = inf;
    q.push(x);
    while(!q.empty()){
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(min(dis[u], e[u][i]) > dis[i]){
                dis[i] = min(dis[u], e[u][i]);
                if(!vis[i]){
                    vis[i] = 1;
                    q.push(i);
                }
            }
        }
    }
}

以下为Accepted代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1014;

int n, m, e[N][N], vis[N], dis[N];

void spfa(int x);

int main(){
    int k = 1, T, i, u, v, w;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d %d", &n, &m);
        memset(e, 0, sizeof(e));/*注意不要忘记初始化*/
        for(i = 0; i < m; i++){
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
            e[u][v] = e[v][u] = w;
        }
        spfa(1);
        printf("Scenario #%d:\n", k++);
        printf("%d\n", dis[n]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
void spfa(int x){
    queue <int> q;
    while(!q.empty()){
        q.pop();
    }
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, 0, sizeof(dis));
    vis[x] = 1, dis[x] = inf;
    q.push(x);
    while(!q.empty()){
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(min(dis[u], e[u][i]) > dis[i]){
                dis[i] = min(dis[u], e[u][i]);
                if(!vis[i]){
                    vis[i] = 1;
                    q.push(i);
                }
            }
        }
    }
}
<think>好的,我需要解决用户关于Heavy Transportation问题的疑问。首先,用户要求了解这个问题的解题思路和算法设计与实现,所以我得先明确这个问题到底是什么。 根据用户提供的引用[2],里面提到了短路的变形,以及使用Dijkstra或SPFA算法来处理大载重量的问题。这说明Heavy Transportation可能与图论中的路径寻找有关,但目标不是短路径,而是寻找一条路径使得路径上的小边权大,也就是大承载量。这类似于大生成树的问题,或者更准确地说,是大瓶颈路径问题。 接下来,我需要回忆相关的算法。Dijkstra算法通常用于单源短路径,但这里需要的是大化的小值。这时候,可能需要修改Dijkstra的松弛条件。引用[2]中提到使用SPFA算法,并调整初始化条件和判断条件。比如,将初始的Distance数组设为0(除了起点设为无穷大),然后在松弛时,如果当前路径的载重量(即当前节点的Distance值与边的权值中的较小者)大于目标节点的当前值,则更新。 然后,我需要考虑如何将这些思路转化为具体的步骤。比如,如何构建图的表示,如何初始化数组,以及算法的具体流程。同时,用户提供的引用[2]中的例子提到用data数组存储两两道路的载重量,不存在的初始化为0,这应该是一个邻接矩阵的表示方法。而Distance数组则记录从起点到各个节点的大载重量,初始时只有起点设为无穷大(或者可能设为0,需要确认),其他节点设为0或-∞,具体取决于实现方式。 可能存在的一个误区是,Dijkstra算法通常处理的是累加问题,而这里是取小值中的大值,所以优先队列的排序方式需要调整,比如使用大堆而不是小堆。例如,每次选择当前具有大Distance值的节点进行扩展,确保每次都能找到当前大的可能载重量。 另外,SPFA算法作为Bellman-Ford的优化版本,适用于有负权边的情况,但在这里可能因为需要多次松弛节点而适用。不过由于这里的边权都是正数(载重量不可能为负),所以Dijkstra可能更高效,尤其是用优先队列优化后的版本。 接下来,我需要验证这些思路是否正确。比如,对于Dijkstra算法的修改,是否正确处理了松弛条件。假设当前节点u的Distance[u]是到u的大载重量,边u->v的权重是w,那么到达v的载重量应该是min(Distance[u], w)。如果这个值大于Distance[v],则更新。因此,每次选择大的Distance节点进行处理,确保后续的更新不会遗漏更大的可能性。 此外,需要考虑图的表示方式。如果使用邻接表,每个节点存储相邻节点及对应的载重量。初始化时,Distance数组除了起点外都是0,而起点是无穷大(或者可能起点为0?需要再仔细想)。比如,假设起点到自己的载重量是无限大,然后每次比较路径上的小值。例如,起点1到自己的载重量是无穷大,当通过边1->m,载重量是w,那么到m的载重量就是min(∞, w) = w。如果之后找到另一条路径到m,比如1->k->m,其中边k->m的载重量是w2,而到k的载重量是w3,那么这条路径的载重量是min(w3, w2),如果这个值大于当前Distance[m],则更新。 这样,算法应该能正确找到从起点到终点的大载重路径。这与Dijkstra算法的贪心策略一致,每次选取当前大的节点进行处理,确保后续的松弛操作不会再有更大的值出现。 现在,需要将这些思路整理成结构化的步骤,包括问题分析、算法选择、具体实现步骤,并给出可能的代码示例。同时,用户提到需要生成相关问题,可能包括优化方法、时间复杂度分析、与其他算法的比较等。 后,需要确保所有数学表达式符合用户的要求,使用$...$或$$...$$格式,并正确引用提供的引用内容。例如,在解释松弛条件时,引用[2]中的描述可以作为支持。</think>### Heavy Transportation 问题解析 #### 问题分析 Heavy Transportation 问题的核心是**在加权无向图中寻找从起点到终点的路径,使得路径上小边权大化**。例如,运输货物时需选择一条路径,使得卡车能承载的大重量尽可能大(路径中窄的边决定大载重量)[^2]。 #### 算法选择 1. **变形的短路算法**:将 Dijkstra 或 SPFA 算法中的松弛条件改为比较路径上的小边权,并选择大可行值。 2. **大堆优化**:使用优先队列(大堆)存储节点及当前路径的小边权,确保每次扩展当前优路径。 #### 具体实现步骤 1. **数据结构**: - 邻接矩阵或邻接表存储图的边权(载重量)。 - 数组 `Distance[]` 记录从起点到各节点的大载重量,初始化为 `0`(起点设为无穷大 `INF`)。 2. **松弛条件**: - 对于边 `(u, v)`,若 `min(Distance[u], weight(u, v)) > Distance[v]`,则更新 `Distance[v]`[^2]。 3. **算法流程**(以 Dijkstra 为例): - 初始化大堆,起点入队。 - 每次取出堆顶节点 `u`,遍历其邻接节点 `v`。 - 计算候选值 `candidate = min(Distance[u], weight(u, v))`,若 `candidate > Distance[v]`,则更新 `Distance[v]` 并将 `v` 入堆。 #### 代码示例(Dijkstra 实现) ```python import heapq def heavy_transportation(n, edges, start, end): graph = [[] for _ in range(n+1)] for u, v, w in edges: graph[u].append((v, w)) graph[v].append((u, w)) # 无向图 distance = [0] * (n+1) distance[start] = float('inf') heap = [(-distance[start], start)] # 大堆通过负数模拟 while heap: current_dist, u = heapq.heappop(heap) current_dist = -current_dist if u == end: return current_dist if current_dist < distance[u]: continue for v, w in graph[u]: new_dist = min(current_dist, w) if new_dist > distance[v]: distance[v] = new_dist heapq.heappush(heap, (-new_dist, v)) return 0 ``` #### 复杂度分析 - **时间复杂度**:与 Dijkstra 算法相同,为 $O((E + N) \log N)$(使用优先队列优化)。 - **空间复杂度**:$O(N + E)$,用于存储图和堆。
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