树状数组+离散化 学习心得

应用：用于计算各种“区间和”。

时间复杂度：n*log2n

基本概念及模板代码：

求和原理：

线段树求和是二分空间，而真正求和只需要用到其中的左侧空间，因此出现树状数组。

lowbit函数：

用于计算二进制最低位1所在位置的权值：

代码：

int lowbit(int x)
{
      return x&-x;
}

树状数组中每个顶点覆盖的范围：[x-lowbit(n)+1,x];

 

求顶点的父节点：

father=son+lowbit(son);

 

（树状数组）

对于已存在的数组建立树状数组模板代码：

 

void build(int a[],int node[],int size)
{
    for(int i=1;i<=size;i++)
    a[i]+=a[i-1];
    for(int i=1;i<=size;i++)
    node[i]=a[i]-a[i-lowbit(i)];
}

更新节点，添加节点代码模板：

 

 

void add(int pos,int val,int size,int node[])
{
    for(int i=pos;i<=size;i+=lowbit(i))
    node[i]+=val;
}

求区间和代码模板：

int prefix_sum(int n,int node[])
{
    int sum=0;
    for(int i=n;i>=1;i-=lowbit(i))
    sum+=node[i];
    return sum;
    
}
int sum_between(int l,int r,int node[])
{
    return prefix_sum(r,node)-prefix_sum(l-1,node);
}

离散化应用：

由于空间问题，不可能开一个1e9的int数组，因此，如果将一个可能超过1e8的数来说，树状数组无法直接存放他的位置，因此就有了离散化。

离散化：假设有n个数据，根据他们的大小的相对关系由小到大，用数字1-n替换他们，并且不改变原本顺序。

假设我们有一组数：

4 6 8 96 5 1 3 6

根据他们的大小顺序可表示为：

3 5 7 8 4 1 2 5

这样就将一组数据由他们本来的大小通过1-8这八个数代替了。

代码：

struct node
{
    ll id;
    ll val;
}sum[M];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.val<b.val;//根据其权值排序
}
sort(sum+1,sum+1+n,cmp);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
    if(i&&sum[i].val==sum[i-1].val)//此处处理重复数据
       c[sum[i].id]=c[sum[i-1].id];
    else
       c[sum[i].id]=i+1;
}

 

树状数组更多的应用：

对于树状数组而言，最主要的作用就是维护一组数据的前缀和，而怎么把想要解决的问题，转化为前缀和的问题，就是解决树状数组问题的关键：

1，树状数组+异或 NEFU1471：
    根据树状数组的概念：将原本的区间异或变为树状数组区间修改+1，并对最后结果对2取模，即得到想要得值。

2，树状数组+逆序对+离散化，洛谷p1966

     此题首先数学分析，对于两盒火柴（a盒，b盒），对于每盒火柴给出一个排列顺序，求经过几次交换后能使对应（ai-bi）平方和最小。

     怎么才能最小？（a-b）²=a²+b²-2*ab对于所有的和而言，a²+b²是不变的，当a*b最大时就是需要的结果。根据下列反证法可得出结论当对应大小位置相同时得到的a*b是最大的。

     假设a>b,c>d;

     如果a*c+b*d不是最大的就可得出这样的结论，a*d+b*c>a*c+b*d。

      化简后得：a<b与前提矛盾。

      因此，找两盒火柴达到相对大小位置相同的交换次数即可。

      此时将两组数据根据相对大小对其进行离散化，得到的值一个作为数组的i，一个作为数组的值 v，当i=v时即为所求结果。（此处相当于求数组逆序对）。