FFRT：固定失败率比率检验、宽巷模糊度固定及 Ratio Test

本文主线：浮点模糊度 → ILS/LAMBDA 搜索 → Ratio Test → 固定失败率 → FFRT → 宽巷固定 → 风险预算与工程实现

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1. 核心结论

FFRT 的全称是：

Fixed Failure-rate Ratio Test
固定失败率比率检验

这里的 Fixed 修饰的是 Failure-rate：

固定或受控的是失败率目标
不是“固定解”中的固定

FFRT 不是新的整数搜索算法，而是一种整数候选接受检验。

使用 FFRT 前，待固定参数必须满足两个前提：

1. 它是可整数估计的模糊度函数；
2. 其整数基准中的相位、码和钟差偏差已经消除或正确吸收。

ILS/LAMBDA
→ 搜索最佳和次优整数候选

Ratio Test
→ 比较两个候选的加权距离

FFRT
→ 根据允许失败率和当前模型强度
   自适应确定Ratio Test临界值

FFRT 中的“失败”是：

错误的整数候选通过检验并被接受。

以下情况不属于固定失败：

• Ratio Test 未通过；
• 系统保持浮点解；
• 本历元暂不尝试固定。

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2. FFRT 针对什么问题

传统软件常使用固定 Ratio 阈值。

但模糊度模型强度会随下列因素变化：

• 卫星数量和几何；
• 模糊度维数；
• 观测时间；
• 码、相位噪声；
• 多路径和周跳；
• 基线长度；
• 电离层、对流层残差；
• 多系统、多频观测；
• 外部约束；
• 轨道、钟差和偏差产品质量。

固定阈值可能产生两类相反问题：

模型很强
→ 阈值过严
→ 正确候选被拒绝
→ 固定率下降

模型很弱
→ 阈值过松
→ 错误候选被接受
→ 错误固定风险失控

FFRT 解决的是：

如何让 Ratio 临界值随模型强度变化，在控制错误固定概率的同时，尽可能提高固定率。

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第一部分：浮点解、整数搜索与固定解

3. GNSS 混合整数模型

线性化 GNSS 观测模型可写为：

$$\boxed{\mathbf{y}=\mathbf{Aa}+\mathbf{Bb}+\mathbf{\epsilon }}$$

其中：

• $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m$：观测减计算值；
• $\mathbf{a}\in {\mathbb{Z}}^n$：整数模糊度向量；
• $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^p$：位置、大气延迟等实数参数；
• $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$：模糊度设计矩阵；
• $\mathbf{B}\in {\mathbb{R}}^{m\times p}$：实数参数设计矩阵；
• $\mathbf{\epsilon }$：观测误差；
• ${\mathbf{Q}}_{yy}=\mathrm{Cov}(\mathbf{\epsilon })$：观测协方差；
• $m,n,p$：观测数、整数参数数和实数参数数。

定义：

$$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\end{array}\right]$$

在模型满秩且 ${\mathbf{Q}}_{yy}$ 正定时，浮点最小二乘解为：

$$\boxed{\hat{\mathbf{x}}={\left({\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{yy}^{-1}\mathbf{H}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{yy}^{-1}\mathbf{y}}$$

其协方差为：

$$\boxed{{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\left({\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{yy}^{-1}\mathbf{H}\right)}^{-1}}$$

分块表示：

$$\hat{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}\hat{\mathbf{a}}\\ \hat{\mathbf{b}}\end{array}\right],{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}& {\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{b}}\\ {\mathbf{Q}}_{\hat{b}\hat{a}}& {\mathbf{Q}}_{\hat{b}\hat{b}}\end{array}\right]$$

其中：

• $\hat{\mathbf{a}}\in {\mathbb{R}}^n$：浮点模糊度；
• ${\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}$：浮点模糊度协方差。

实际程序宜使用 QR、Cholesky 等稳定方法求解，不宜显式计算普通矩阵逆。

3.1 FFRT 固定的必须是“可整数估计函数”

“整数线性组合”不一定等于“可整数估计函数”。

在秩亏模型中，模糊度基准可能发生下列变化，而观测模型保持不变：

$$\boxed{{\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}+\mathbf{Ck}}$$

其中：

• $\mathbf{C}$：模糊度基准或秩亏方向矩阵；
• $\mathbf{k}\in {\mathbb{Z}}^q$：任意整数基准变化；
• $q$：秩亏维数。

设希望固定的模糊度函数为：

$$\boxed{{\mathbf{a}}_I={\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}$$

其中：

• $\mathbf{D}$：整数系数矩阵；
• ${\mathbf{a}}_I$：候选整数函数。

要使 ${\mathbf{a}}_I$ 不随模糊度基准改变，至少应满足：

$$\boxed{{\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=0}$$

因为：

$${\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}^{\prime }={\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}+{\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Ck}={\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}$$

这保证了函数对秩亏基准变化不敏感。

但这仍不意味着整数可估性已经自动成立。还需要保证：

• 该函数在实数模型中可估；
• 其整数值覆盖完整的整数格，而不是只覆盖某个整数子格；
• 所选整数基准与模型的 S-basis 或基准约束一致。

在常见有限维整数模型中，一个直观检查是：

所选独立整数函数能否与其余整数基准共同补成一个整数幺模变换。

因此，仅有：

$$\mathbf{D}\in {\mathbb{Z}}^{n\times r}$$

并不足以证明 ${\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}$ 可安全进行整数固定。

典型可整数估计函数包括：

• 同系统、同频率短基线 RTK 的双差模糊度；
• 已恢复整数基准的 PPP-AR 星间单差模糊度；
• 通过整数幺模变换构造的宽巷和窄巷参数。

以下参数不能未经处理直接套用 FFRT：

• 吸收了卫星或接收机相位偏差的原始非差模糊度；
• 基准未统一的跨系统模糊度；
• 未处理频间偏差的传统 GLONASS FDMA 模糊度；
• 不满足整数可估性条件的任意实数参数。

3.2 浮点模糊度必须近似无偏

FFRT 的经典标定通常假设：

$$\boxed{{\hat{\mathbf{a}}}_I\sim \mathcal{N}\left({\mathbf{a}}_I,{\mathbf{Q}}_{II}\right)}$$

若实际存在未建模偏差：

$$\boxed{{\hat{\mathbf{a}}}_I\sim \mathcal{N}\left({\mathbf{a}}_I+{\mathbf{\beta }}_I,{\mathbf{Q}}_{II}\right)}$$

其中：

• ${\mathbf{\beta }}_I$：模糊度偏差；
• ${\mathbf{Q}}_{II}$：可整数估计模糊度的协方差。

当：

$${\mathbf{\beta }}_I\ne 0$$

时，即使 Ratio 较好，按零偏模型标定的失败率也可能失效。

因此：

FFRT 只能控制“所假设概率模型下”的错误固定风险，不能弥补未改正的系统偏差。

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4. ILS 与 LAMBDA

整数最小二乘 ILS 估计为：

$$\boxed{{\check{\mathbf{a}}}_1=\arg \underset{\mathbf{z}\in {\mathbb{Z}}^n}{\min }J(\mathbf{z})}$$

其中：

$$\boxed{J(\mathbf{z})={\left(\hat{\mathbf{a}}-\mathbf{z}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}^{-1}\left(\hat{\mathbf{a}}-\mathbf{z}\right)}$$

符号含义：

• $\mathbf{z}$：任意整数候选；
• $J(\mathbf{z})$：候选到浮点模糊度的加权平方距离；
• ${\check{\mathbf{a}}}_1$：最佳整数候选。

次优候选为：

$$\boxed{{\check{\mathbf{a}}}_2=\arg \underset{\mathbf{z}\in {\mathbb{Z}}^n,\mathbf{z}\ne {\check{\mathbf{a}}}_1}{\min }J(\mathbf{z})}$$

定义：

$$J_1=J({\check{\mathbf{a}}}_1),J_2=J({\check{\mathbf{a}}}_2)$$

因此：

$$0\le J_1\le J_2$$

LAMBDA/MLAMBDA 主要完成：

1. 整数保持的模糊度去相关；
2. 最佳候选搜索；
3. 次优候选搜索。

FFRT 不替代 LAMBDA。FFRT 使用整数搜索得到的 $J_1$ 和 $J_2$。

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5. 整数变换为什么不能改变 Ratio

设采用整数幺模变换：

$$\boxed{\mathbf{z}={\mathbf{Z}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}$$

其中：

• $\mathbf{Z}$：可逆整数矩阵；
• $|\det (\mathbf{Z})|=1$；
• $\mathbf{z}\in {\mathbb{Z}}^n$：变换后的整数模糊度。

浮点值和协方差变为：

$$\hat{\mathbf{z}}={\mathbf{Z}}^{\mathrm{T}}\hat{\mathbf{a}}$$

$${\mathbf{Q}}_{\hat{z}\hat{z}}={\mathbf{Z}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}\mathbf{Z}$$

对一一对应的候选：

$${\mathbf{z}}_c={\mathbf{Z}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{a}}_c$$

有：

∥z^−zc∥Qz^z^2=∥a^−ac∥Qa^a^2\boxed{ \left\| \hat{\mathbf z}-\mathbf z_c \right\|_{\mathbf Q_{\hat z\hat z}}^2 = \left\| \hat{\mathbf a}-\mathbf a_c \right\|_{\mathbf Q_{\hat a\hat a}}^2 }∥z^−zc​∥Q