平方根信息滤波：矩阵推导及 GNSS 参数估计应用

本文主线：信息矩阵 → 平方根信息方程 → 白化观测 → QR 量测更新 → 增广时间更新 → GNSS 参数估计

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1. 结论

平方根信息滤波的英文是：

Square-Root Information Filter，SRIF

它是线性 Kalman/LMMSE 估计的一种因子化数值实现。

SRIF 通常不直接递推协方差矩阵：

$$\mathbf{P}$$

也不显式形成完整信息矩阵：

$$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}^{-1}$$

而是维护上三角平方根信息因子：

$$\boxed{\mathbf{\Lambda }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x}$$

以及平方根信息向量：

$$\boxed{{\mathbf{z}}_x={\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}}$$

状态通过上三角方程求得：

$$\boxed{{\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{z}}_x}$$

其中：

• $\mathbf{P}$：状态估计误差协方差；
• $\mathbf{\Lambda }$：信息矩阵，也称精度矩阵；
• ${\mathbf{R}}_x$：上三角平方根信息因子；
• $\hat{\mathbf{x}}$：状态估计；
• ${\mathbf{z}}_x$：平方根信息向量。

一句话理解：

SRIF 把动态状态估计组织成“白化最小二乘 + QR 正交消元”。

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2. “平方根信息”怎样理解

“平方根信息”可以拆成：

信息 + 平方根因子

2.1 信息矩阵

当协方差矩阵 $\mathbf{P}$ 正定时，信息矩阵定义为：

$$\boxed{\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}^{-1}}$$

在一维情况下：

$$\Lambda =\frac{1}{{\sigma }^2}$$

其中：

• ${\sigma }^2$：方差；
• $\Lambda$：信息或精度。

因此，在同一参数方向上：

方差越小
→ 不确定度越小
→ 信息越大

对矩阵不能简单比较每个元素的大小，应在半正定矩阵偏序意义下比较信息多少。

2.2 平方根信息因子

SRIF 保存：

$$\boxed{\mathbf{\Lambda }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x}$$

这里的“平方根”不是逐元素开平方，也不要求使用对称主平方根。

它表示：

用一个三角因子的转置与其自身相乘，恢复信息矩阵。

2.3 平方根信息向量

普通信息向量为：

$$\boxed{\mathbf{\eta }=\mathbf{\Lambda }\hat{\mathbf{x}}}$$

平方根信息向量为：

$$\boxed{{\mathbf{z}}_x={\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}}$$

二者满足：

$$\boxed{\mathbf{\eta }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{z}}_x}$$

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3. 信息形式的适用条件

普通信息矩阵：

$$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}^{-1}$$

要求 $\mathbf{P}$ 可逆。

如果存在：

• 严格固定参数；
• 零方差方向；
• 基准未定义；
• 不可观参数；
• 秩亏先验；

则 $\mathbf{P}$ 可能奇异，普通信息矩阵不再存在。

此时需要采用：

• 精确约束方程；
• 矩形平方根信息因子；
• 秩揭示 QR；
• SVD；
• 广义逆；
• 重新参数化；
• 补充基准约束。

以下基础推导先假设协方差正定、平方根信息因子满秩。

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4. 一维直观例子

设：

$$\hat{x}=10,P=4$$

信息为：

$$\Lambda =P^{-1}=\frac{1}{4}$$

可取平方根信息因子：

$$R_x=\frac{1}{2}$$

平方根信息向量为：

$$z_x=R_x\hat{x}=\frac{1}{2}\times 10=5$$

状态由：

$$R_x\hat{x}=z_x$$

恢复：

$$\frac{1}{2}\hat{x}=5⟹\hat{x}=10$$

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5. 从高斯分布理解信息形式

设状态服从高斯分布：

$$\mathbf{x}\sim \mathcal{N}\left(\hat{\mathbf{x}},\mathbf{P}\right)$$

其概率密度中与 $\mathbf{x}$ 有关的指数项为：

$$-\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{P}}^{-1}\left(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}\right)$$

定义：

$$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}^{-1}$$

展开二次型：

$$\begin{array}{rl}& {\left(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }\left(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}\right)\\ & ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{x}-2{\hat{\mathbf{x}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{x}+{\hat{\mathbf{x}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }\hat{\mathbf{x}}\end{array}$$

令：

$$\mathbf{\eta }=\mathbf{\Lambda }\hat{\mathbf{x}}$$

则同一个高斯分布可以表示为：

均值 + 协方差

或：

信息向量 + 信息矩阵

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6. 信息形式与最小二乘

若：

$$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x$$

且：

$${\mathbf{z}}_x={\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}$$

则状态估计等价于：

$$\boxed{\hat{\mathbf{x}}=\arg \underset{\mathbf{x}}{\min }{\Vert {\mathbf{R}}_x\mathbf{x}-{\mathbf{z}}_x\Vert }_2^2}$$

定义目标函数：

$$J(\mathbf{x})={\left({\mathbf{R}}_x\mathbf{x}-{\mathbf{z}}_x\right)}^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{R}}_x\mathbf{x}-{\mathbf{z}}_x\right)$$

对 $\mathbf{x}$ 求梯度：

$${\nabla }_{\mathbf{x}}J=2{\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{R}}_x\mathbf{x}-{\mathbf{z}}_x\right)$$

令梯度为零：

$${\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x\mathbf{x}={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{z}}_x$$

即：

$$\mathbf{\Lambda }\mathbf{x}=\mathbf{\eta }$$

若 ${\mathbf{R}}_x$ 非奇异，可直接解上三角方程：

$$\boxed{{\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{z}}_x}$$

无需计算 ${\mathbf{\Lambda }}^{-1}$。

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7. 为什么使用 QR 而不是法方程

设白化后的线性模型为：

$$\mathbf{Ax}\approx \mathbf{b}$$

法方程为：

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{b}$$

若 $\mathbf{A}$ 满列秩，则二范数条件数满足：

$$\boxed{{\kappa }_2\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)={\kappa }_2^2(\mathbf{A})}$$

因此，显式形成法方程会放大病态性。

SRIF 直接对 $\mathbf{A}$ 进行 QR、Householder 或 Givens 正交变换，不显式形成：

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}$$

通常具有更好的舍入误差性质。

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第一部分：SRIF 量测更新

8. 线性观测模型

设：

$$\mathbf{y}=\mathbf{Hx}+\mathbf{v}$$

其中：

• $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m$：观测向量；
• $\mathbf{H}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$：设计矩阵；
• $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$：待估状态；
• $\mathbf{v}$：观测噪声。

假设：

$$E(\mathbf{v})=0$$

$$\mathrm{Cov}(\mathbf{v})={\mathbf{R}}_v$$

这里用 ${\mathbf{R}}_v$ 表示观测噪声协方差，避免与平方根信息因子 ${\mathbf{R}}_x$ 混淆。

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9. 观测白化

若 ${\mathbf{R}}_v$ 正定，可进行 Cholesky 分解：

$${\mathbf{R}}_v={\mathbf{L}}_v{\mathbf{L}}_v^{\mathrm{T}}$$

定义白化算子：

$${\mathbf{W}}_v={\mathbf{L}}_v^{-1}$$

左乘观测方程：

$${\mathbf{W}}_v\mathbf{y}={\mathbf{W}}_v\mathbf{Hx}+{\mathbf{W}}_v\mathbf{v}$$

白化噪声协方差为：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}\left({\mathbf{W}}_v\mathbf{v}\right)& ={\mathbf{W}}_v{\mathbf{R}}_v{\mathbf{W}}_v^{\mathrm{T}}\\ & =\mathbf{I}\end{array}$$

定义：

$$\tilde{\mathbf{y}}={\mathbf{W}}_v\mathbf{y}$$

$$\tilde{\mathbf{H}}={\mathbf{W}}_v\mathbf{H}$$

得到单位协方差观测：

$$\tilde{\mathbf{y}}=\tilde{\mathbf{H}}\mathbf{x}+\tilde{\mathbf{v}}$$

实际程序中不显式计算 ${\mathbf{L}}_v^{-1}$，而是求解：

$${\mathbf{L}}_v\tilde{\mathbf{y}}=\mathbf{y}$$

$${\mathbf{L}}_v\tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{H}$$

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10. 普通信息滤波的量测更新

先验状态和协方差为：

$${\hat{\mathbf{x}}}^{-},{\mathbf{P}}^{-}$$

先验信息定义为：

$$\boxed{{\mathbf{\Lambda }}^{-}={\left({\mathbf{P}}^{-}\right)}^{-1}}$$

$$\boxed{{\mathbf{\eta }}^{-}={\mathbf{\Lambda }}^{-}{\hat{\mathbf{x}}}^{-}}$$

先验与量测的联合目标函数为：

$$\begin{array}{rl}J(\mathbf{x})& ={\left(\mathbf{x}-{\hat{\mathbf{x}}}^{-}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\Lambda }}^{-}\left(\mathbf{x}-{\hat{\mathbf{x}}}^{-}\right)\\ & +{\left(\mathbf{y}-\mathbf{Hx}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_v^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{Hx}\right)\end{array}$$

对 $\mathbf{x}$ 求导并令其为零，得到：

$$\boxed{{\mathbf{\Lambda }}^{+}={\mathbf{\Lambda }}^{-}+{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_v^{-1}\mathbf{H}}$$

$$\boxed{{\mathbf{\eta }}^{+}={\mathbf{\eta }}^{-}+{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_v^{-1}\mathbf{y}}$$

这里要求：

• 当前量测噪声与先验估计误差不相关；
• 分批加入的观测条件独立，或已经使用完整协方差联合白化。

否则不能简单重复相加信息。

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11. SRIF 的增广信息方程

先验平方根信息方程为：

$${\mathbf{R}}_x^{-}\mathbf{x}\approx {\mathbf{z}}_x^{-}$$

白化观测方程为：

$$\tilde{\mathbf{H}}\mathbf{x}\approx \tilde{\mathbf{y}}$$

将二者纵向堆叠：

$$\boxed{\left[\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_x^{-}\\ \tilde{\mathbf{H}}\end{array}\right]\mathbf{x}\approx \left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_x^{-}\\ \tilde{\mathbf{y}}\end{array}\right]}$$

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12. QR 量测更新推导

定义：

$${\mathbf{A}}_m=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_x^{-}\\ \tilde{\mathbf{H}}\end{array}\right]$$

$${\mathbf{b}}_m=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_x^{-}\\ \tilde{\mathbf{y}}\end{array}\right]$$

若状态维数为 $n$、观测维数为 $m$，则：

$${\mathbf{A}}_m\in {\mathbb{R}}^{(n+m)\times n}$$

构造正交矩阵 ${\mathbf{Q}}_m$，使：

$$\boxed{{\mathbf{Q}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_m=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{R}}_x^{+}\\ 0\end{array}\right]}$$

右端同步变换：

$$\boxed{{\mathbf{Q}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{b}}_m=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_x^{+}\\ \mathbf{e}\end{array}\right]}$$

于是：

$${\Vert {\mathbf{A}}_m\mathbf{x}-{\mathbf{b}}_m\Vert }_2^2={\Vert {\mathbf{R}}_x^{+}\mathbf{x}-{\mathbf{z}}_x^{+}\Vert }_2^2+\Vert \mathbf{e}{\Vert }_2^2$$

后验状态由：

$$\boxed{{\mathbf{R}}_x^{+}{\hat{\mathbf{x}}}^{+}={\mathbf{z}}_x^{+}}$$

求得。

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13. 为什么 QR 更新等价于信息更新

正交变换保持内积，因此：

$${\mathbf{A}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_m={\mathbf{R}}_x^{+\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x^{+}$$

展开左侧：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_m& ={\mathbf{R}}_x^{-\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x^{-}+{\tilde{\mathbf{H}}}^{\mathrm{T}}\tilde{\mathbf{H}}\\ & ={\mathbf{\Lambda }}^{-}+{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_v^{-1}\mathbf{H}\\ & ={\mathbf{\Lambda }}^{+}\end{array}$$

所以：

$$\boxed{{\mathbf{\Lambda }}^{+}={\mathbf{R}}_x^{+\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x^{+}}$$

同理：

$${\mathbf{A}}_m^{\mathrm{T}}{\mathbf{b}}_m={\mathbf{R}}_x^{+\mathrm{T}}{\mathbf{z}}_x^{+}$$

因此：

$$\boxed{{\mathbf{\eta }}^{+}={\mathbf{R}}_x^{+\mathrm{T}}{\mathbf{z}}_x^{+}}$$

这说明 SRIF 与普通信息滤波在精确算术下等价。

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14. 正交残差与新息统计

标准 Kalman 新息为：

$$\mathbf{\nu }=\mathbf{y}-\mathbf{H}{\hat{\mathbf{x}}}^{-}$$

新息协方差为：

$${\mathbf{S}}_{\nu }=\mathbf{H}{\mathbf{P}}^{-}{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{R}}_v$$

在先验和量测模型一致、矩阵满秩时，增广最小二乘的最小代价满足：

$$\boxed{\Vert \mathbf{e}{\Vert }_2^2={\mathbf{\nu }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_{\nu }^{-1}\mathbf{\nu }}$$

右侧就是归一化新息平方 NIS。

若噪声服从正确的高斯模型，且观测维数为 $m$，则：

$$\mathrm{NIS}\sim {\chi }_m^2$$

因此，$\mathbf{e}$ 可以辅助用于：

• 新息一致性检验；
• 粗差检测；
• 方差因子评估；
• 模型比较。

但仍需注意：

• 自由度应按有效秩确定；
• 相关观测必须正确白化；
• 残差小不代表估计无偏；
• 完整似然还包含协方差行列式等归一化项。

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第二部分：SRIF 时间更新

15. 状态模型

状态方程为：

$${\mathbf{x}}_k={\mathbf{F}}_{k-1}{\mathbf{x}}_{k-1}+{\mathbf{B}}_{k-1}{\mathbf{u}}_{k-1}+{\mathbf{w}}_{k-1}$$

其中：

• ${\mathbf{x}}_{k-1}$：上一历元状态；
• ${\mathbf{x}}_k$：当前历元状态；
• ${\mathbf{F}}_{k-1}$：状态转移矩阵；
• ${\mathbf{B}}_{k-1}{\mathbf{u}}_{k-1}$：已知控制项；
• ${\mathbf{w}}_{k-1}$：过程噪声。

设：

$$\mathrm{Cov}\left({\mathbf{w}}_{k-1}\right)={\mathbf{Q}}_{k-1}$$

协方差形式的预测为：

$${\mathbf{P}}_k^{-}={\mathbf{F}}_{k-1}{\mathbf{P}}_{k-1}^{+}{\mathbf{F}}_{k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{Q}}_{k-1}$$

过程噪声增加不确定度，也就是减少信息。

因此，时间更新不能像量测更新一样简单地进行信息加法。

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16. 全秩过程噪声下的增广模型

若：

$${\mathbf{Q}}_{k-1}={\mathbf{L}}_Q{\mathbf{L}}_Q^{\mathrm{T}}$$

且 ${\mathbf{Q}}_{k-1}$ 正定，定义：

$${\mathbf{W}}_Q={\mathbf{L}}_Q^{-1}$$

白化过程方程：

$$-{\mathbf{W}}_Q{\mathbf{F}}_{k-1}{\mathbf{x}}_{k-1}+{\mathbf{W}}_Q{\mathbf{x}}_k\approx {\mathbf{W}}_Q{\mathbf{B}}_{k-1}{\mathbf{u}}_{k-1}$$

上一历元后验信息方程为：

$${\mathbf{R}}_{x,k-1}^{+}{\mathbf{x}}_{k-1}\approx {\mathbf{z}}_{x,k-1}^{+}$$

将两式堆叠：

$$\boxed{\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_{x,k-1}^{+}& 0\\ -{\mathbf{W}}_Q{\mathbf{F}}_{k-1}& {\mathbf{W}}_Q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{k-1}\\ {\mathbf{x}}_k\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_{x,k-1}^{+}\\ {\mathbf{W}}_Q{\mathbf{B}}_{k-1}{\mathbf{u}}_{k-1}\end{array}\right]}$$

这是关于旧状态与当前状态的联合白化最小二乘问题。

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17. 正交消元得到当前先验

对联合系统进行正交三角化，并将旧状态变量排在前面：

$${\mathbf{Q}}_t^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_{x,k-1}^{+}& 0\\ -{\mathbf{W}}_Q{\mathbf{F}}_{k-1}& {\mathbf{W}}_Q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_{11}& {\mathbf{R}}_{12}\\ 0& {\mathbf{R}}_{x,k}^{-}\end{array}\right]$$

右端同步变换：

$${\mathbf{Q}}_t^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_{x,k-1}^{+}\\ {\mathbf{W}}_Q{\mathbf{B}}_{k-1}{\mathbf{u}}_{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_1\\ {\mathbf{z}}_{x,k}^{-}\end{array}\right]$$

对应目标函数为：

$$\begin{array}{rl}J& ={\Vert {\mathbf{R}}_{11}{\mathbf{x}}_{k-1}+{\mathbf{R}}_{12}{\mathbf{x}}_k-{\mathbf{z}}_1\Vert }_2^2\\ & +{\Vert {\mathbf{R}}_{x,k}^{-}{\mathbf{x}}_k-{\mathbf{z}}_{x,k}^{-}\Vert }_2^2\end{array}$$

在本文“前后状态维数相同、过程噪声全秩”的简化模型下，若方阵 ${\mathbf{R}}_{11}$ 非奇异，则对任意给定的 ${\mathbf{x}}_k$，都可选择：

$${\mathbf{x}}_{k-1}={\mathbf{R}}_{11}^{-1}\left({\mathbf{z}}_1-{\mathbf{R}}_{12}{\mathbf{x}}_k\right)$$

使第一项为零。

因此，边缘化旧状态后保留：

$$\boxed{{\mathbf{R}}_{x,k}^{-}{\mathbf{x}}_k\approx {\mathbf{z}}_{x,k}^{-}}$$

其信息矩阵等价于联合信息矩阵对旧状态块的 Schur 补。

若 ${\mathbf{R}}_{11}$ 秩亏，必须使用秩揭示 QR、SVD、基准约束或重新参数化，不能直接丢弃上方方程。

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18. 奇异过程噪声怎样处理

前述白化使用：

$${\mathbf{W}}_Q={\mathbf{L}}_Q^{-1}$$

要求 ${\mathbf{Q}}_{k-1}$ 正定。

GNSS 中常出现零过程噪声，例如：

• 常值模糊度；
• 固定坐标；
• 确定性动力学状态；
• 严格约束参数。

此时常用方法包括：

• 把确定性转移写成精确等式约束；
• 只对白噪声子空间进行白化；
• 使用矩形过程噪声因子；
• 显式引入低维驱动噪声；
• 使用秩揭示 QR 或 SVD；
• 重新参数化状态。

不能仅为使 $\mathbf{Q}$ 可逆而随意增加过程噪声，否则会改变物理随机模型。

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19. SRIF 完整流程

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第三部分：与其他滤波方法的区别

20. SRIF 与协方差型 SRKF

协方差型平方根 Kalman 滤波保存：

$$\mathbf{P}=\mathbf{S}{\mathbf{S}}^{\mathrm{T}}$$

SRIF 保存：

$${\mathbf{P}}^{-1}={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x$$

对比项	协方差型 SRKF	SRIF
保存对象	协方差因子 $\mathbf{S}$	信息因子 ${\mathbf{R}}_x$
直接表示	不确定度	约束信息
量测更新	Kalman 阵列更新	追加白化观测行
时间更新	通常较直接	需要增广与边缘化
获取完整协方差	直接计算	需要三角求解
参数消元	相对不自然	QR 消元自然
稀疏性	协方差常较稠密	信息因子可能保持稀疏
典型倾向	小中型导航递推	大量观测和局部参数消元

若需要由 SRIF 恢复完整协方差，可先求：

$${\mathbf{R}}_x\mathbf{X}=\mathbf{I}$$

得到：

$$\mathbf{X}={\mathbf{R}}_x^{-1}$$

再计算：

$$\boxed{\mathbf{P}=\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}}$$

获取完整协方差可能破坏 SRIF 的计算优势。

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21. SRIF 与标准 Kalman

在线性模型、二阶统计条件和标准不相关假设下：

• 标准 Kalman；
• 普通信息滤波；
• 协方差型 SRKF；
• SRIF；

在精确算术下具有相同的状态均值与后验协方差。

在联合高斯条件下，它们同时给出条件均值 MMSE 估计。

SRIF 的优势来自：

• 数值因子化；
• 正交变换；
• 稀疏组织；
• 参数消元方式。

它不是统计意义上比 Kalman 更高阶的估计器。

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22. SRIF 优化的是什么

SRIF 主要优化：

22.1 法方程的数值风险

避免显式形成：

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{WA}$$

22.2 大量观测的信息累积

独立或已联合白化的观测可以作为新行加入信息方程。

22.3 局部参数消元

适合消去：

• 接收机钟差；
• 局部模糊度；
• 临时状态；
• 旧历元状态；
• 不关心的辅助参数。

22.4 稀疏和分块结构

在合理的参数排序下，可利用大型系统的稀疏性。

22.5 有限精度可靠性

使用 QR、Householder、Givens 和三角回代减少普通矩阵求逆与法方程带来的误差。

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23. SRIF 的优势与局限

23.1 优势

• 数值稳定性通常优于法方程；
• 观测可以逐条或分批加入；
• 便于正交消元局部参数；
• 适合稀疏和分块计算；
• 正交残差便于一致性检验；
• 可扩展到批处理和平滑估计。

23.2 局限

• 时间更新比量测更新复杂；
• 获取完整协方差代价较高；
• 奇异过程噪声需要专门处理；
• 边缘化会产生填充；
• 效率依赖参数排序；
• 相关观测必须正确建模；
• 不天然抗粗差、多路径和周跳；
• 非线性问题仍需迭代线性化；
• 精确约束和秩亏问题需要专门算法。

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第四部分：GNSS 参数估计应用

24. 与测量平差的关系

线性化观测模型为：

$$\mathbf{l}=\mathbf{A}\mathbf{\delta }+\mathbf{\epsilon }$$

其中：

• $\mathbf{l}$：观测减计算值；
• $\mathbf{A}$：设计矩阵；
• $\mathbf{\delta }$：参数改正数；
• $\mathbf{\epsilon }$：观测误差。

设：

$$\mathrm{Cov}\left(\mathbf{\epsilon }\right)={\mathbf{R}}_l$$

若：

$${\mathbf{R}}_l={\mathbf{L}}_l{\mathbf{L}}_l^{\mathrm{T}}$$

则白化观测为：

$$\tilde{\mathbf{A}}={\mathbf{L}}_l^{-1}\mathbf{A}$$

$$\tilde{\mathbf{l}}={\mathbf{L}}_l^{-1}\mathbf{l}$$

传统加权最小二乘形成：

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_l^{-1}\mathbf{A}\mathbf{\delta }={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_l^{-1}\mathbf{l}$$

SRIF 则直接对先验信息行和白化观测行进行 QR 三角化。

因此：

SRIF 可以看作“具有动态先验与时间传播的平方根加权最小二乘”。

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25. 在 GNSS 中是否适用

SRIF 特别适合：

• 观测数量大；
• 状态维数高；
• 参数具有全局与局部层级；
• 需要实时递推；
• 需要频繁参数消元；
• 需要利用稀疏结构；
• 数值条件较差。

可估参数包括：

• 接收机坐标和钟差；
• 对流层和电离层参数；
• 载波相位模糊度相关状态；
• 卫星钟差；
• 卫星轨道参数；
• 地球定向参数；
• GNSS/INS 误差状态。

对于非线性 GNSS 观测，需要在当前近似状态处线性化：

$${\mathbf{l}}_k\approx {\mathbf{H}}_k{\mathbf{\delta }}_k+{\mathbf{v}}_k$$

求得改正数后更新：

$${\hat{\mathbf{x}}}_k\leftarrow {\hat{\mathbf{x}}}_{k,0}+{\mathbf{\delta }}_k$$

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26. 单站 PPP 与 PPP-AR

简化的双频非组合 PPP 状态可写为：

$$\mathbf{x}={\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{r}}^{\mathrm{T}}& c\delta t_r& T_{\mathrm{zwd}}& {\mathbf{I}}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{b}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$$

其中：

• $\mathbf{r}$：接收机坐标；
• $c\delta t_r$：距离单位的接收机钟差；
• $T_{\mathrm{zwd}}$：天顶湿延迟；
• $\mathbf{I}$：电离层状态；
• ${\mathbf{b}}_{\varphi }$：模糊度相关浮点状态。

SRIF 可以：

• 按卫星或观测类型加入观测；
• 对相关观测统一白化；
• 递推累积信息；
• 用 QR 维护三角因子；
• 在周跳和卫星升降时更新状态。

但对单站、小规模 PPP，SRIF 不一定比 SRKF 更简单。

PPP-AR 的整数搜索通常需要浮点模糊度协方差子块：

$${\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}$$

在 SRIF 中，需要通过：

• 三角求解；
• 选定协方差求逆；
• 变量重排序后提取子块；

获得该协方差。

因此，若程序频繁进行模糊度固定和协方差访问，协方差型 SRKF 可能更加直接。

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27. 实时钟差、精密定轨与网络解算

27.1 实时卫星钟差

高维状态可能包括：

• 卫星钟差；
• 接收机钟差；
• 对流层；
• 模糊度；
• 测站坐标约束。

SRIF 可以按测站分批加入观测，并优先消去局部接收机参数。

27.2 精密定轨

可联合处理：

• 轨道初始状态；
• 动力学参数；
• 经验加速度；
• 卫星钟差；
• 测站和大气参数。

非线性定轨仍需要在参考轨道附近反复线性化。

27.3 大型 GNSS 网络

参数可分为：

全局参数
→ 轨道、卫星钟差、地球定向参数

局部参数
→ 接收机钟差、对流层、模糊度

SRIF 可通过参数排序和 QR 消元先处理局部参数，再保留全局参数。

变量排序不合理时，消元填充可能显著增加存储量和计算量。

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28. 观测时间相关性

标准分批 SRIF 更新要求：

• 不同观测批次在给定状态后相互独立；
• 或已经使用完整协方差联合白化。

GNSS 中可能存在：

• 多路径时间相关；
• 平滑伪距相关；
• 对流层模型残差相关；
• 接收机噪声相关；
• 预处理滤波引入的相关性。

忽略相关性可能造成：

• 同一信息被重复计权；
• 协方差过于乐观；
• 精度评定失真；
• 模糊度检验可靠性下降。

处理方法包括：

• 构造时空协方差并联合白化；
• 使用预白化模型；
• 扩展有色噪声状态；
• 使用考虑时间相关性的 SRIF 变体。

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29. 状态增删、边缘化与精确约束

29.1 状态增加

新增卫星模糊度时，需要：

• 扩展信息因子列；
• 加入初始化先验；
• 重新三角化。

29.2 状态删除与边缘化

一般不能直接删除 ${\mathbf{R}}_x$ 的任意行列。

常用方法：

• 参数列置换；
• Givens 旋转；
• Householder 变换；
• QR 降阶；
• 等价 Schur 补消元。

29.3 模糊度精确固定

精确约束可写为：

$$\mathbf{Cx}=\mathbf{d}$$

零方差约束对应无限信息方向，不能简单使用普通有限权值表示。

更严格的处理方法包括：

• 用零空间参数化消去约束；
• 使用等式约束 QR；
• 直接消去已固定参数；
• 使用约束型 SRIF；
• 使用秩揭示分解。

使用很小但非零的约束方差只是近似方法，需要检查病态性和固定错误风险。

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30. SRIF 是否有独有使用场景

严格来说，没有一种线性高斯估计问题只能使用 SRIF。

标准 Kalman、SRKF、批处理最小二乘和因子图也可能获得相同理论结果。

SRIF 最具代表性的优势场景是：

观测量很大、局部参数很多、结构稀疏，并且需要持续加入信息和正交消元参数。

特别适合：

• 实时卫星钟差；
• 精密定轨；
• 大型 GNSS 网络；
• 多测站联合估计；
• 逐观测递推处理；
• 大量临时参数消元。

它的独特工程价值是：

把递推估计转化为稳定的白化最小二乘和QR消元过程

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31. 方法选择流程

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32. 二维量测更新例子

设先验均值：

$${\hat{\mathbf{x}}}^{-}=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right]$$

先验协方差：

$${\mathbf{P}}^{-}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right]$$

因此：

$${\mathbf{\Lambda }}^{-}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right]$$

可取：

$${\mathbf{R}}_x^{-}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

平方根信息向量：

$${\mathbf{z}}_x^{-}={\mathbf{R}}_x^{-}{\hat{\mathbf{x}}}^{-}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$$

新增观测：

$$y=3$$

观测模型：

$$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$

观测方差：

$$R_v=1$$

信息更新为：

$${\mathbf{\Lambda }}^{+}={\mathbf{\Lambda }}^{-}+{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{R}_v^{-1}\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right]$$

信息向量更新为：

$${\mathbf{\eta }}^{+}={\mathbf{\eta }}^{-}+{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}{R}_v^{-1}y=\left[\begin{array}{c}5\\ \frac{3}{2}\end{array}\right]$$

可取后验平方根信息因子：

$${\mathbf{R}}_x^{+}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

后验平方根信息向量满足：

$${\mathbf{R}}_x^{+\mathrm{T}}{\mathbf{z}}_x^{+}={\mathbf{\eta }}^{+}$$

通过下三角回代得到：

$${\mathbf{z}}_x^{+}={\left({\mathbf{R}}_x^{+\mathrm{T}}\right)}^{-1}{\mathbf{\eta }}^{+}=\left[\begin{array}{c}\frac{5}{\sqrt{2}}\\ 3\end{array}\right]$$

解：

$${\mathbf{R}}_x^{+}{\hat{\mathbf{x}}}^{+}={\mathbf{z}}_x^{+}$$

得到：

$$\boxed{{\hat{\mathbf{x}}}^{+}=\left[\begin{array}{c}2.5\\ 6\end{array}\right]}$$

观测只约束了第一个状态，因此第二个状态保持不变。

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33. 常见概念混淆

33.1 “信息”是信息论中的比特数

错误。这里的信息矩阵是协方差的逆，也称精度矩阵。

33.2 平方根信息因子是逐元素开平方

错误。它满足：

$$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x$$

33.3 平方根信息向量是对信息向量开平方

错误。它定义为：

$${\mathbf{z}}_x={\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}$$

33.4 SRIF 必须显式计算 ${\mathbf{P}}^{-1}$

错误。实际算法可以直接维护三角信息方程。

33.5 SRIF 就是协方差型 SRKF

不准确。二者都是平方根实现，但维护的因子不同。

33.6 观测信息总能逐批直接相加

错误。只有条件独立或已联合白化的观测才能分别相加。

33.7 SRIF 一定比 SRKF 更快

错误。性能取决于规模、稀疏性、参数排序和时间更新频率。

33.8 SRIF 天然抗粗差、多路径和周跳

错误。仍需质量控制、鲁棒估计和状态管理。

33.9 信息形式天然保持稀疏

错误。边缘化和参数排序会产生填充。

33.10 直接删除信息因子的行列就是边缘化

错误。边缘化需要正确的置换和正交消元。

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34. 工程实现检查清单

34.1 数学约定

• $\mathbf{\Lambda }={\mathbf{P}}^{-1}$ 的适用条件是否满足；
• 是否统一采用 $\mathbf{\Lambda }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x$；
• ${\mathbf{R}}_x$ 是否统一为上三角；
• ${\mathbf{z}}_x={\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}$ 是否一致；
• 先验上标和逆矩阵括号是否正确。

34.2 量测更新

• 观测是否正确白化；
• 跨历元相关性是否被建模；
• 是否避免显式形成法方程；
• 是否使用稳定的 QR/Householder/Givens；
• 残差统计的自由度是否正确。

34.3 时间更新

• $\mathbf{Q}$ 是否正定；
• 奇异过程噪声是否采用约束或矩形因子；
• 被消元状态块是否满秩；
• 旧状态是否正确边缘化；
• 控制输入是否进入正确右端项。

34.4 GNSS 状态管理

• 新升卫星是否正确扩展状态；
• 周跳后是否正确重置模糊度；
• 落下卫星是否通过置换和消元删除；
• 模糊度固定是否使用约束型处理；
• PPP-AR 所需协方差子块是否正确提取；
• 参数排序是否减少 QR 填充；
• 是否检查基准缺失、秩亏和不可观状态。

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35. 总结

SRIF 保存信息矩阵的平方根因子
$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{R}}_x^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_x$，以及平方根信息向量
${\mathbf{z}}_x={\mathbf{R}}_x\hat{\mathbf{x}}$。

“信息”表示协方差的逆；“平方根”表示通过三角因子的转置乘积恢复信息矩阵。

SRIF 的量测更新是把先验信息方程与白化观测方程堆叠，再通过 QR 得到新的三角信息方程。

SRIF 的时间更新需要建立前后历元联合模型，并通过正交消元边缘化旧状态。

SRIF 与标准 Kalman 和协方差型 SRKF 在模型一致、精确算术条件下具有相同统计结果。

SRIF 特别适合大量观测、局部参数多、结构稀疏，并需要实时信息累积和参数消元的 GNSS 参数估计问题。

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参考资料

• G. J. Bierman：Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation
• C. L. Thornton：Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering
• J. R. Carpenter、C. N. D’Souza：Navigation Filter Best Practices
• X. Zuo 等：A Square Root Information Filter for Multi-GNSS Real-Time Precise Clock Estimation
• Y. Jiang 等：Square Root Information Filter Considering Temporal Correlation of GNSS Observations