树状数组详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Binary_Heap/article/details/78691674

树状数组:用来求数组中的连续和
从一般O(n)优化到 - O(log n)

【方法】重新构造一个c[],用来控制读入的原数组a[](是某些数据的和)

怎么控制？

如果它二进制末尾0个数用k表示，
c[i]控制的数共2^k个数，从a[i]开始,a[i-1],a[i-2]...

举例：
c[1] = a[1];
c[2] = a[2] + a[1];
c[4] = a[4] + a[3] + a[2] + a[1];
c[8] = a[8] + a[7] + a[6] + .. + a[1];
c[16] = a[16] + a[15] + ... a[1];

更加具体一些：
c[6] = a[6] + a[5]; //6(110)末尾有一个零，控制(2^1=2)个数
c[10] = a[10] + a[9]; //10(1010)末尾有一个零，控制2^1=2个数
c[12] = a[12] + a[11] + a[10] + a[9]; //12(1100)末尾2个0，控制4个数
c[14] = a[14] + a[13]; //14(1110)末尾有一个零，控制2个数

核心函数：
int lowbit(int x) {
return x&(-x); // 算2^k, k是x的二进制末尾0的个数
}

例:
10的二进制是1010，末尾有1个0，
所以lowbit(10)=2的1次方=2，所以c[10]控制2个数：a[10]+a[9]

16的二进制是10000，末尾有4个0，
所以lowbit(16)=2的4次方=16，所以c[16]控制16个数，a[16]+...a[1];

--------------------------------------------------------------------

[修改操作]：向叶结点走
修改a[3]时，修改c[3], c[4], c[8], c[16]; [要走到n]
修改a[5]时，修改c[5], c[8], c[16]

void update(int i, int data) { //修改第i个数，增加data
	while(i <= n) {
		c[i] += data;
		i += lowbit(i);
	}
}

[求和操作]：向根结点走

int sum(int i) { //求a[1]加到a[i]
	int s = 0;
	while(i >= 1){
		s += c[i]; //从c[i]开始，往下加
		i -= lowbit(i);
	}
	return s;
}

例如:
求a[1] +..+ a[9]:
首先+c[9];
9 = 9 - lowbit(9) = 8;所以再+c[8];
8 = 8 - lowbit(8) = 0;结束;

*求a[5]+a[6]+....a[98] : 结果就是 sum(98) - sum(5-1);

【Code】求区间和

#include <iostream>
using namespace std;

int a[10001], c[10001];
int n;

inline int lowbit(const int x) {
	return x & (-x);
}

void update(int i, int data) { //修改第i个数，增加data
	while(i <= n) {
		c[i] += data;
		i += lowbit(i);
	}
}

int sum(int i) { //求a[1]加到a[i]
	int s = 0;
	while(i >= 1){
		s += c[i]; //从c[i]开始，往下加
		i -= lowbit(i);
	}
	return s;
}


int main() {
	int q, l, r;
	cin >> n;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin >> a[i];
		update(i, a[i]);
	}
	cin >> q;  //Q次询问
	while(q --) {
		cin >> l >> r; //询问区间[l, r]中数之和
		cout << sum(r) - sum(l-1) << endl;
	}
	return 0;
}

【模版】树状数组1

题目描述

已知一个数列，需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1：格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2：格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

14
16

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

-----------------------------

【Code】与之前差不多

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAXN 500010

int n, m;
int a[MAXN], c[MAXN];

inline int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void update(int i, int data) {
    while(i <= n) {
        c[i] += data;
        i += lowbit(i);
    } 
}

int sum(int x) {
    int s = 0;
    while(x > 0) {
        s += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return s;
}

int main() {
    int flg, x, y;
    cin >> n >> m;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        update(i, a[i]);
    }
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        cin >> flg >> x >> y;
        if(flg == 1) update(x, y);
        else if(flg == 2) printf("%d\n", sum(y) - sum(x-1));
    }
    return 0;
}

【模版】树状数组2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1：格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2：格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

6
10

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

【解法】差分 + BIT

B[i]表示A[i] - A[i-1]

那么A[i] 就可以表示成B[1]+B[2]+..+B[i]

操作2就可以用树状数组解决前缀和

操作1是区间加，可以直接B[L]+k,B[R]+k

可以自己思考一下，区间加，中间这些数差不变，两端需要变.

操作1当然用Update更新.

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAXN 500010

int N, Q, C[MAXN];

inline int lowbit(int x) {
	return x & (-x);
}

int SUM(int i) {
	int sum = 0;
	while(i) {
		sum += C[i];
		i -= lowbit(i);
	}
	return sum;
}

int Update(int i, int data) {
	while(i <= N) {
		C[i] += data;
		i += lowbit(i);
	}
}

int Add(int L, int R, int k) {
	Update(L, k);
	Update(R+1, -k);
}

inline int Query(int x) {
	return SUM(x);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &N, &Q);
	int last = 0, tmp;
	for(int i=1; i<=N; i++) {
		scanf("%d", &tmp);
		Update(i, tmp - last);
		last = tmp;
	}
	int opt, x, y, k;
	for(int i=1; i<=Q; i++) {
		scanf("%d", &opt);
		if(opt == 1) {
			scanf("%d%d%d", &x, &y, &k);
			Add(x, y, k);
		} else {
			scanf("%d", &x);
			printf("%d\n", Query(x));
		}
	}
	return 0;
}