[JSOI2008] 球形空间产生器

最新推荐文章于 2025-09-03 09:03:35 发布

Bill_Yang_2016

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分类专栏：高斯消元线性代数文章标签： oi 信息学高斯消元线性代数 jsoi

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bill_Yang_2016/article/details/54584483

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本文介绍了一个算法问题，即如何通过已知N+1个点的坐标来确定N维空间中球形产生器的球心位置。文章提供了详细的数学公式推导过程，并附带完整的C++实现代码。

题目描述

火星人不能忍受地球人对他们的歧视，终于发明了一种非常强大的武器：球形空间产生器。球形空间产生器能产生一个 N 维球体屏障，而且这个屏障是坚不可摧的，被困在球体内的地球人就被切断了与外界的联系。Js08 现在就被困在了屏障中，情况十分危急，必须尽快找出并摧毁球形空间产生器。Js08 经过摸索和碰壁，给出了球体上 N+1 个点的坐标，希望你能够帮 Js08 找出球形空间产生器的位置——它总是位于球形空间的球心。
球体定义为到空间中定点距离等于定长的点的集合。此外，空间中两点的距离定义为：

D i s t a n c e [(x 1, x 2, . . ., x n), (y 1, y 2, . . ., y n)] = \sum i = 1 n (x i - y i) 2 - - - - - - - - - - \sqrt

$Distance\left[\left(x_1,x_2,...,x_n\right),\left(y_1,y_2,...,y_n\right)\right]=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$

输入格式

输入文件第一行为整数 N，代表了空间的维度。
接下来 N+1 行，每行 N 个实数代表一个坐标。输入数据精确到小数点后 6 位。
输入数据保证输出结果唯一。

输出格式

输出一行 N 个实数代表球心的坐标，精确到小数点后三位。相邻的数字之间用一个空格分开（行末无空格）

样例数据

样例输入

样例数据#1
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
样例数据#2
4
24.720172 14.560868 7.592580 25.639614
24.275281 8.136164 21.498302 -12.570364
33.948090 10.669582 4.705742 -2.648426
-22.717309 3.519597 16.222675 2.425559
-9.593546 18.349904 -15.757415 10.414070

样例输出

样例数据#1
0.500 1.500
样例数据#2
5.360 5.443 6.078 4.669

数据规模

对于 40%的数据，有 N<=3。
对于 100%的数据，有 N<=10。
对于 100%的数据，输入中数字的绝对值不超过 20000。

题目分析

用二维距离，就有三个坐标，假设圆心坐标为(x0,y0)，球的半径为r
则有：

(x 1 - x 0) 2 + (y 1 - y 0) 2 = r 2 (x 2 - x 0) 2 + (y 2 - y 0) 2 = r 2 (x 3 - x 0) 2 + (y 3 - y 0) 2 = r 2

$(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=r^2\\ (x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2=r^2\\ (x_3-x_0)^2+(y_3-y_0)^2=r^2$
联立可得

(x 1 - x 0) 2 + (y 1 - y 0) 2 = (x 2 - x 0) 2 + (y 2 - y 0) 2 (x 2 - x 0) 2 + (y 2 - y 0) 2 = (x 3 - x 0) 2 + (y 3 - y 0) 2

$(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2\\ (x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2=(x_3-x_0)^2+(y_3-y_0)^2\\$
展开得

2 x 0 (x 1 - x 2) + 2 y 0 (y 1 - y 2) = x 21 - x 22 + y 21 - y 22 2 x 0 (x 2 - x 3) + 2 y 0 (y 2 - y 3) = x 22 - x 23 + y 22 - y 23

$2x_0(x_1-x_2)+2y_0(y_1-y_2)=x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2\\ 2x_0(x_2-x_3)+2y_0(y_2-y_3)=x_2^2-x_3^2+y_2^2-y_3^2\\$
类推至n维，然后就交给贾老二解方程了

源代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
    int num=0,bj=1;
    char x=getchar();
    while(x<'0'||x>'9') {
        if(x=='-')bj=-1;
        x=getchar();
    }
    while(x>='0'&&x<='9') {
        num=num*10+x-'0';
        x=getchar();
    }
    return num*bj;
}
int n;
double a[105][105],Ans[105],x[105][105];
void Simplify(int Line) { //对于行化简 
    int Row=Line; //1.选主元(系数绝对值最大) 
    double Max=abs(a[Row][Line]);
    for(int i=Line+1; i<=n; i++)
        if(abs(a[i][Line])>Max) {
            Max=abs(a[i][Line]);
            Row=i;
        }
    if(Row!=Line) //2.交换行(将主元调到当前行)
        for(int i=Line; i<=n+1; i++)swap(a[Line][i],a[Row][i]);
    for(int i=Line+1; i<=n; i++) { //3.化简该行 
        double Multiple=a[i][Line]/a[Line][Line];
        for(int j=Line; j<=n+1; j++)a[i][j]-=a[Line][j]*Multiple;
    }
}
void Gauss() {
    for(int i=1; i<=n; i++)Simplify(i);
    for(int i=n; i>=1; i--) { //从最后一个方程回代 
        for(int j=i+1; j<=n; j++)a[i][n+1]-=a[i][j]*Ans[j];
        Ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n+1; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)scanf("%lf",&x[i][j]);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++) {
            a[i][n+1]+=x[i][j]*x[i][j]-x[i+1][j]*x[i+1][j];
            a[i][j]=2*(x[i][j]-x[i+1][j]);
        }
    Gauss();
    for(int i=1; i<=n; i++)printf("%0.3lf ",Ans[i]);
    return 0;
}