[NEFU119] 组合素数

最新推荐文章于 2019-10-27 10:04:42 发布

Bill_Yang_2016

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分类专栏：数论组合文章标签： oi 信息学组合

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bill_Yang_2016/article/details/53860222

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该博客讨论了如何计算组合数C(2n,n)被素数p整除的次数，针对信息学竞赛（OI）中的问题进行了解析。作者指出，由于数据量大，直接暴力计算会导致超时，因此需要寻找更有效的算法。博客提供了样例数据和样例输出，并暗示将介绍一种避免超时的方法来解决问题。" 132126974,19453851,FPGA设计优化：多周期约束的应用与实践,"['FPGA开发', '硬件描述语言', '数字逻辑']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

小明的爸爸从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小明高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个很大棋盘（非常大），小明有所失望。不过没过几天发现了大棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的非降路径数是C(2n,n)，现在小明随机取出1个素数p, 他想知道C(2n,n)恰好被p整除多少次？小明想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小明解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

输入格式

有多组测试数据。第一行是一个正整数T，表示测试数据的组数。接下来每组2个数分别是n和p的值，这里1<=n,p<=1000000000。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行，给出C(2n,n)被素数p整除的次数，当整除不了的时候，次数为0。

样例数据

样例输入

2
2 2
2 3

样例输出

1
1

题目分析

数据量比较大，暴力会TLE
故考虑在求组合中顺便求出方案数
已知

C n n = ( 2 n ) ! 2 ( n ! )

$C_n^n=\frac{(2n)!}{2(n!)}$
因此在求组合中累加方案数即可

源代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const long long Get_Int() {
    long long num=0,bj=1;
    char x=getchar();
    while(x<'0'||x>'9') {
        if(x=='-')bj=-1;
        x=getchar();
    }
    while(x>='0'&&x<='9') {
        num=num*10+x-'0';
        x=getchar();
    }
    return num*bj;
}
long long cnt,t,n,p;
int main() {
    t=Get_Int();
    while(t--) {
        n=Get_Int();
        p=Get_Int();
        cnt=0;
        int k=1;
        for(int i=1; i<=log(2*n)/log(p); i++) {
            k*=p;
            cnt+=(2*n/k)-2*(n/k);
        }
        printf("%lld\n",cnt);
    }
    return 0;
}