优先队列(Priority Queue)

堆的基本概念

堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

Binary Heap

二叉堆是一个有堆排列的二叉树。
$Root=A[0]$
$Children(A[i])=(A[2i+1],A[2i+2])$
$Parent(A[i])=A[\lfloor(\frac{i - 1}{2})\rfloor]$

sift up & sift down

    def siftDown(i):  // Also known as bubbleDown
    while A[i] has worse priority than one or both children:
       swap A[i], best child
       i = index of child we swapped with A[i]

    def siftUp(i):  // Also known as bubbleUp
        while i > 0 and A[i] has better priority than its parent:
        swap A[i], parent
        i = index of parent

删除最小值操作，取出后进行sift up和sift down即可，顺序无关。

make a heap

def makeheap():
    for i = n-1,n-2,...,2,1,0:
        siftDown(i)

使用sift down更快，因为可以保证接近根节点的元素不动，减少了操作。
总时间复杂度为O(n)

k-ary heap

k = m/n时效率最高