最小生成树算法--Kruskal精讲（图文并茂）

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法基本思想

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 V个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 V个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 V棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 V-1条边为止。
步骤如下：

1)记Graph中有V个顶点，E个边
2)新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的E个顶点，但没有边
3)将原图Graph中所有E个边按权值从小到大排序
4)循环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
                           添加这条边到图Graphnew中

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了下图

在剩下的图中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）,所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是下图：

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上去，这样就能够得到一个k阶图G’(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。

我们证明T’+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T’+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T’+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G’的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T’)，也就是W(T)<=W(T’)+W(<u,v>)=W(T’+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T’+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。