回溯法基本思想

回溯法

回溯法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。回溯法是一种即带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，先判断该节点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对以该节点为根的子树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。否则，进入该子树，继续按照深度优先策略搜索。回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有子树都已被搜索遍才结束。回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先方式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是用于解组合数大的问题。通俗的讲，某些解空间是非常大的，可以认为是一个非常庞大的树，此时完全遍历的时间复杂度是难以忍受的。此时可以在遍历的同时检查一些条件，当遍历某分支的时候，若发现条件不满足，则退回到根节点进入下一个分支的遍历。这就是“回溯”这个词的来源。而根据条件有选择的遍历，叫做剪枝或分枝定界。

问题的解空间

用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。例如n=3时，其解空间是
{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可用一颗完全的二叉树表示其解空间，如下图。

解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。从树根到叶子的任一路径表示解空间中的一个元素。例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。

回溯法的基本思想

确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索方式搜索整个解空间。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为止。
回溯法搜索解空间树时，通常采用两种策略避免无效搜索，提高回溯法的搜索效率。其一是用约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满足约束的子树；其二是用限界函数剪去得不到最优解的子树。这两类函数统称为剪枝函数。

回溯法解题通常包含以下三个步骤：

1.针对所给问题，定义问题的解空间；
2.确定易于搜索的解空间结构；
3.以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

应用回溯法解问题时，首先应该明确问题的解空间。 一个复杂问题的解决往往由多部分构成，即，一个大的解决方案可以看作是由若干个小的决策组成。很多时候它们构成一个决策序列。 解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条件下使目标达到最优的可行解称为该问题的最优解。