二项式反演证明

最新推荐文章于 2025-05-07 17:22:06 发布

Bfk_

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分类专栏： ---------------数论组合数学计数与容斥文章标签：数论二项式定理二项式反演具体数学组合数学

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bfk_zr/article/details/79215374

本文详细证明了两个关于二项式反演的等式：an=∑i=0n(ni)bi对应的bn=∑i=0n(−1)n−i(ni)ai，以及ak=∑i=kn(ik)bi对应的bk=∑i=kn(−1)i−k(ik)ai。证明过程中利用了二项式定理和组合数的性质，展示了从an到bn和从ak到bk的精确转换过程。

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式一、
$a_n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}b_i \Rightarrow b_n=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}a_i$

证明：
$\ \ \ \ \sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}a_i$
$=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}\sum\limits_{j=0}^i{i\choose j}b_j$
=∑i=0n∑j=0i(−1)n−i

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