背包问题之01背包---51nod（1085）

最新推荐文章于 2021-04-15 19:32:27 发布

One day，One problem

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分类专栏：背包文章标签： 01背包问题

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博客围绕01背包问题展开，即在N件物品中取若干件放入容量为W的背包，求最大价值。指出若考虑拿与不拿组合，复杂度为O(2^n)，而用动态规划可将复杂度降为O(nW)，还介绍了二维数组和一维数组的实现方法。

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1085 背包问题

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

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在N件物品取出若干件放在容量为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2……Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

Input

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的数量，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 10000)
第2 - N + 1行，每行2个整数，Wi和Pi，分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)

Output

输出可以容纳的最大价值。

Input示例

Output示例

注释：01背包问题，即每种物品只有一个，并有相对应的价值。对于每个物品，我们只有拿和不拿两种情况。如果看拿与不拿的组合，复杂度为O（2^n），我们可以用动态规划实现把复杂度将为O（nW）。

二维数组实现：dp[i][j]表示面对第i件物品，且背包容量为j时能获得的最大价值

dp[i][j] = dp[i-1][j] ………………………………j<w[i];

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])……… j>=w[i]；

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
long long dp[120][10050];//dp[i][j]表示面对第i件物品，且背包容量为j时能获得的最大价值
int v[120];//价值数组
int w[120];//体积数组
int main()
{
    int nums,weight;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cin>>nums>>weight;
    for(int i=1;i<=nums;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=nums;i++)
    {
        for(int j=1;j<=weight;j++)
        {
            if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            //状态转移方程，后边的都是i-1;(若从0开始遍历，前面的为i+1，后边则为i)
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];//此处后边也是i-1
        }
    }
    cout<<dp[nums][weight]<<endl;
    return 0;
}

当然也可以使用一维数组实现。

降维后的代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int v[150];
int w[150];
int dp[10050];
int main()
{

	int nums,weight;
	scanf("%d %d",&nums,&weight);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=nums;i++)
	{
		scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
	}
	for(int i=1;i<=nums;i++)
	{
		for(int j=weight;j>=w[i];j--)
		{
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
		}
	} 
	printf("%d\n",dp[weight]);	
	return 0;
}