BZOJ 1026 浅谈特殊要求预处理数位动态规划

世界真的很大
针对数字的每一位的递推或递归叫做数位DP
有时候题目的要求不会像问有多少个数出现了13这样这么简单，有时会加上出题人自己yy的一些条件
对于这些条件，要将其灵活运用，还需要很熟悉数位这么个东西的性质才行
看题先：
description：

　windy定义了一种windy数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。 windy想知道，
在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

input

包含两个整数，A B

output

一个整数

首先按数位DP的基本套路，拆成前缀和相减的形式比较方便
问题转化成统计0到n有多少个windy数
先考虑windy数这么个东西，如果一个数x是windy数，那么在x前面加一个与x最高位相差大于等于2的数，得到的新数也是windy数。
就是说在一定范围内出现了m个windy数，只要范围最高位已知，那么再加一个与其最高位相差大于等于2的数，那么m个windy数在新得范围内也会有m个与其对应的值，而且转移与且仅与最高位有关，貌似是可以递推的
考虑f（i，j）表示在所有长度为i的数里，最高位为j的数中，windy数的个数，当然j可以为0
这个是可以通过上述方式预处理的
这样对于n而言，就可以先把数位比n小的，和数位与n相等的，但是最高位比n小的数的答案累加起来，接下来就只需要处理当最高位就是n的最高位的情况
考虑数位DP非常核心的一个东西，就是说如果前一位比n的前一位小，那么这一位就是无限制的，比如说之前最高位比n的最高位小，那么之后的数就是无限制的，而现在处理的是前一位已经和n的相同位相同的情况下，就是说当前这一位最多也只能取到n的对应位，那么就把当前为与n的上一位之差大于等于2，并且小于n的当前位的数加上，类比第一位时要小于n的最高位的情况，只是这里还需考虑和前一位的差是不是大于等于2
还有就是每一位都是小于n的当前位的值，所以无法统计到n本身，只能统计到n-1的地方，为了避免麻烦判断n本身是不是windy数，直接把n++就好
完整代码：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long dnt;

dnt a,b,f[10][10];

void init()
{
    for(int i=0;i<=9;i++) f[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=10;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
            for(int k=0;k<=9;k++)
            if(abs(k-j)>=2)
                f[i][j]+=f[i-1][k];
}

dnt DP(dnt n)
{
    dnt rt=0;
    n++;
    if(n==0) return 0;
    int num[10],m=0;
    memset(num,0,sizeof(num));
    while(n)
    {
        num[++m]=n%10;
        n/=10;
    }
    for(int i=1;i<num[m];i++) rt+=f[m][i];
    for(int i=m-1;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=9;j++)
            rt+=f[i][j];
    for(int i=m-1;i>=1;i--)
    {
        for(int j=0;j<num[i];j++)
            if(abs(num[i+1]-j)>=2) rt+=f[i][j];
        if(abs(num[i+1]-num[i])<2) break ;
     } 
     return rt;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld\n",DP(b)-DP(a-1));
    return 0;
}
/*
Whoso pulleth out this sword from this stone and anvil is duly born King of all England
*/

嗯，就是这样