最小生成树之Prim算法

最新推荐文章于 2022-10-11 18:35:37 发布

Kallen

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分类专栏： Algorithm 文章标签：算法 graph output input

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/kallen_ding/article/details/7087543

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这篇博客介绍了Prim算法如何构建最小生成树。通过逐步解释算法步骤，包括初始设置、邻接矩阵表示图、使用堆优化复杂度，并提供了一个C++实现示例，展示如何寻找最小权值边并更新距离数组，最终计算总长度。此外，还包含了一个样例输入和输出，以及用于搜索最短连接路径的快速方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Prim算法用于求无向图的最小生成树

设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。

①、把v0放入U。

②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。

③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。

其算法的时间复杂度为O(n^2)

Prim算法实现：

（1）集合：设置一个数组set(i=0,1,..,n-1),初始值为 0,代表对应顶点不在集合中（注意：顶点号与下标号差1）

（2）图用邻接阵表示，路径不通用无穷大表示，在计算机中可用一个大整数代替。

采用堆可以将复杂度降为O(m log n)，如果采用Fibonaci堆可以将复杂度降为O(n log n + m)

算法实现

    #include<fstream>
    #define MaxNum 765432100;
    using namespace std;
    ifstream fin("Prim.in");
    ofstream fout("Prim.out");
    int p,q;
    bool is_arrived[501];
    int Length,Vertex,SetNum,State;
    int Map[501][501],Dist[501];
    int FindMin()
    {
    int p;
    int Minm,Temp;
    Minm=MaxNum;
    Temp=0;
    for(p=1;p<=Vertex;p++)
    if ((Dist[p]<Minm)&&(!is_arrived[p]))
    {
    Minm=Dist[p];
    Temp=p;
    }
    return Temp;
    }
    int main()
    {
    memset(is_arrived,0,sizeof(is_arrived));
    fin >> Vertex;
    for(p=1;p<=Vertex;p++)
    for(q=1;q<=Vertex;q++)
    {
    fin >> Map[p][q];
    if (Map[p][q]==0) Map[p][q]=MaxNum
    }
    Length=0;
    is_arrived[1]=true;
    for(p=1;p<=Vertex;p++)
    Dist[p]=Map[1][p];
    SetNum=1;
    do
    {
    State=FindMin();
    if (State!=0)
    {
    SetNum=SetNum+1;
    is_arrived[State]=true;
    Length=Length+Dist[State];
    for(p=1;p<=Vertex;p++)
    if ((Map[State][p]<Dist[p])&&(!is_arrived[p]))
    Dist[p]=Map[State][p];
    }
    else
    break;
    }
    while (SetNum!=Vertex);
    if (SetNum!=Vertex)
    fout << "The graph is not connected!";
    else
    fout << Length;
    fin.close();
    fout.close();
    return 0;
    }
    Sample Input
    7
    00 20 50 30 00 00 00
    20 00 25 00 00 70 00
    50 25 00 40 25 50 00
    30 00 40 00 55 00 00
    00 00 25 55 00 10 70
    00 70 50 00 10 00 50
    00 00 00 00 70 50 00
    Sample Output
    160
    //用于搜索最短连接路径的快速方法
    void prime()
    {
    int i,j,k=0;
    int v0=1;
    int min;
    for( i=1; i<=cases; i++ )
    {
    lowcost=cost[v0];
    closest=v0;
    }
    lowcost[v0]=-1;
    for( i=1; i<cases; i++ )
    {
    min=max;
    for( j=1; j<=cases; j++ )
    {
    if( lowcost[j]<min && lowcost[j]!=-1)
    {
    min=lowcost[j];
    k=j;
    }
    }
    sum+=lowcost[k];
    //printf("sum=%d\n",sum);
    //printf("k=%d\n",k);
    lowcost[k]=-1;
    for( j=1; j<=cases; j++ )
    {
    if( cost[k][j]<lowcost[j] && lowcost[j]!=-1 )
    {
    lowcost[j]=cost[k][j];
    closest[j]=k;
    }
    }
    }
    }